2015年GCT考试数学精练试题及解析8

　　1、若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=?

　　(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1

　　【思路】题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-387、设F(n)=(n+1) n-1(n为自然数),则F(n):(a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除 …..

　　【思路】用二项式定理去做第二题，只考虑n的系数，有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。

　　2.一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。任取其中一张，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。

　　【思路】设A=被观察的一面是绿的，B=两面都是绿,则需求P(B/A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=1/4：1/2=1/2，所给答案却2/3?

　　3、 在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,求:(1)最小号码为5的概率，(2)最大号码为5的概率.

　　【思路】最小号码为5 的概率：

　　号码5已确定，另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出,所以概率为10/120=1/12同样最大号码为5的概率：

　　号码5已确定，另外2人的号码应从1、2、3、4中选出,所以概率为6/120=1/2010、从5 双不同的鞋子中任取4 只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?

　　【思路】可以这样理解，先算出没有两只配成一双的情况，然后用1去减一下便可。4只鞋中没有配成一双的情况：10只鞋按配对分成5组，只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况，那么组合数为： 10×8×6×4任取4只的组合数为：10×9×8×7所以没有2只配对的概率为：10×8×6×4/10×9×8×7=8/21故至少2只成对的概率为1-8/12=13/2111、设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1)上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3)上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。

　　【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0，1)、[1，3]、[1/2，1)、[1，3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则：

　　p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/812、设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。

　　【思路】设A为三人中至少有一个女孩，B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩;P(A) =1-(1/2)*(1/2)*1/2=7/8 , P(AB)=1-(1/2)*(1/2)=3/4,所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。

　　(这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些)13、求极限部分不能正常显示，想要具体复习资料可以到清华版教材和相关复习资料。

　　4、求极限：lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n) (n趋于正无穷);【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n)n->正无穷=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)…..(1-1/n)(1+1/n)=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3……* (n-1)/n * (n+1)/n=lim(n+1)/2n=1/215、如果数列{An}中，A1=1,且An+1=2nAn(n=1,2,…),则{An}的通项公式An=?

　　【思路】An+1=2nAn => An+1/An=2n =>

　　A2/A1=2 , A3/A2=2^2 …..

　　(A2/A1)*(A3/A2)*……*( An /An-1)=2 22…… 2n-1=> An /A1=2 (1+2+…+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/216、设有4只坏，每只都能以同样的落入4个格子中的任一个，求前2个球落入不同格子中的概率。

　　【思路】分别设四球为1号, 2号，3号和4号1号球落入某个格子有4种可能，那么2号球就只有3种可能3号4号可落入4个格子中的任意，有4，4种可能所以应为4*3*4*4/4417、甲，乙二人同时同地绕400米跑道赛跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次赶上乙，求乙速度.( 6s/m)【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案为a/x)【思路1】原方程两边对Y进行求偏导xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数xf’(x*1)=f’(1)=a 得 f’(x)=a/x【思路2】当⊿x→0时，令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x=f(1+⊿x/x)/⊿x =f’(1)/x=a/x18、已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y【思路1】设U=x+y,v=x-yf(u,v)=uvf’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+vf’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-uf’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),

　　令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).

　　结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。

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