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2016年考研数学概率与统计公式:随机变量数字特征

2015-01-20 15:18:43来源:网络

2016年考研数学复习,公式是首要掌握的基础和关键。新东方在线整理了概率论与数理统计部分的重要公式,希望考生收藏背诵,并在复习中灵活的掌握和运用,提升解题能力。

2016年考研数学概率与统计公式:随机变量数字特征


1)一维随机变量的数字特征


离散型

连续型

期望

期望就是平均值

X是离散型随机变量,其分布律为P( )pkk=1,2,…,n

(要求绝对收敛)

X是连续型随机变量,其概率密度为f(x)

(要求绝对收敛)

函数的期望

Y=g(X)

Y=g(X)

方差

D(X)=E[X-E(X)]2

标准差



对于正整数k,称随机变量Xk次幂的数学期望为Xk阶原点矩,记为vk,

νk=E(Xk)= , k=1,2, ….

对于正整数k,称随机变量XEX)差的k次幂的数学期望为Xk阶中心矩,记为,即

= k=1,2, ….

对于正整数k,称随机变量Xk次幂的数学期望为Xk阶原点矩,记为vk,

νk=E(Xk)=

k=1,2, ….

对于正整数k,称随机变量XEX)差的k次幂的数学期望为Xk阶中心矩,记为,即

=

k=1,2, ….

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望EX,方差DX=σ2,则对于任意正数ε,有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率

的一种估计,它在理论上有重要意义。

2)期望的性质

1 E(C)=C

2 E(CX)=CE(X)

3 E(X+Y)=E(X)+E(Y)

4 E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:XY独立;

充要条件:XY不相关。

3)方差的性质

1 D(C)=0E(C)=C

2 D(aX)=a2D(X) E(aX)=aE(X)

3 D(aX+b)= a2D(X) E(aX+b)=aE(X)+b

4 D(X)=E(X2)-E2(X)

5 D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:XY独立;

充要条件:XY不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。

E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

4)常见分布的期望和方差


期望

方差

0-1分布

p


二项分布

np


泊松分布



几何分布



超几何分布



均匀分布



指数分布



正态分布




n

2n

t分布

0

(n>2)

5)二维随机变量的数字特征

期望



函数的期望

方差



协方差

对于随机变量XY,称它们的二阶混合中心矩 XY的协方差或相关矩,记为 ,即

与记号 相对应,XY的方差DX)与DY)也可分别记为

相关系数

对于随机变量XY,如果DX>0, D(Y)>0,则称

XY的相关系数,记作 (有时可简记为 )。

| |≤1,当| |=1时,称XY完全相关:

完全相关

而当 时,称XY不相关。

以下五个命题是等价的:

cov(X,Y)=0;

E(XY)=E(X)E(Y);

D(X+Y)=D(X)+D(Y);

D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵


混合矩

对于随机变量XY,如果有 存在,则称之为XYk+l阶混合原点矩,记为 k+l阶混合中心矩记为:

6)协方差的性质

(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);

(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

7)独立和不相关

i 若随机变量XY相互独立,则 ;反之不真。

ii 若(XY)~N ),

XY相互独立的充要条件是XY不相关。

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