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2016年考研数学概率与统计公式:随机变量及其分布

2015-01-20 15:20:48来源:网络

2016年考研数学复习,公式是首要掌握的基础和关键。新东方在线整理了概率论与数理统计部分的重要公式,希望考生收藏背诵,并在复习中灵活的掌握和运用,提升解题能力。

2016年考研数学概率与统计公式:随机变量及其分布


1)离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pkk=1,2,…

则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:

显然分布律应满足下列条件:

1 2

2)连续型随机变量的分布密度

是随机变量 的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有

则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质:

3)离散与连续型随机变量的关系

积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

4)分布函数

为随机变量, 是任意实数,则函数

称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间(– ∞x]内的概率。

分布函数具有如下性质:

是单调不减的函数,即 时,有

,即 是右连续的;

对于离散型随机变量,

对于连续型随机变量,

5)八大分布

0-1分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布

重贝努里试验中,设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量,设为 ,则 可能取值为

其中

则称随机变量 服从参数为 的二项分布。记为

时, ,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量 的分布律为

则称随机变量 服从参数为 的泊松分布,记为 或者P( )

泊松分布为二项分布的极限分布(np=λn→∞)。

超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)

几何分布

,其中p≥0q=1-p

随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)

均匀分布

设随机变量 的值只落在[ab]内,其密度函数 [ab]上为常数 ,即

a≤x≤b

其他,

则称随机变量 [ab]上服从均匀分布,记为X~U(ab)

分布函数为

a≤x≤b

0 x

1 x>b

a≤x1时,X落在区间( )内的概率为

指数分布

,

0, ,

其中 ,则称随机变量X服从参数为 的指数分布。

X的分布函数为

,

x<0< span="">


记住积分公式:

正态分布

设随机变量 的密度函数为

其中 为常数,则称随机变量 服从参数为 的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为

具有如下性质:

的图形是关于 对称的;

时, 为最大值;

,则 的分布函数为

。。

参数 时的正态分布称为标准正态分布,记为 ,其密度函数记为

分布函数为

是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。

Φ(-x)1-Φ(x)Φ(0)

如果 ~ ,则 ~

6)分位数

下分位表:

上分位表:

7)函数分布

离散型

已知 的分布列为

的分布列( 互不相等)如下:

若有某些 相等,则应将对应的 相加作为 的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)≤y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)

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