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2016年考研数学概率与统计公式：随机变量及其分布

2015-01-20 15:20:48来源：网络

2016年考研数学复习，公式是首要掌握的基础和关键。新东方在线整理了概率论与数理统计部分的重要公式，希望考生收藏背诵，并在复习中灵活的掌握和运用，提升解题能力。

2016年考研数学概率与统计公式：随机变量及其分布


（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

。

显然分布律应满足下列条件：

（1） ， ， （2） 。

（2）连续型随机变量的分布密度

设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有

，

则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1° 。

2° 。

（3）离散与连续型随机变量的关系

积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设 为随机变量， 是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1° ；

2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；

3° ， ；

4° ，即 是右连续的；

5° 。

对于离散型随机变量， ；

对于连续型随机变量， 。

（5）八大分布

0-1分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布

在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。

， 其中 ，

则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。

当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量 的分布律为

， ， ，

则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布

设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即

a≤x≤b

其他，

则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。

分布函数为

a≤x≤b

0， x ，

1， x>b。

当a≤x1时，X落在区间（ ）内的概率为

。

指数分布

,

0, ,

其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。

X的分布函数为

,

x<0< span="">。


记住积分公式：

正态分布

设随机变量 的密度函数为

， ，

其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。

具有如下性质：

1° 的图形是关于 对称的；

2° 当 时， 为最大值；

若 ，则 的分布函数为

。。

参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为

， ，

分布函数为

。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。

如果 ~ ，则 ~ 。

。

（6）分位数

下分位表： ；

上分位表： 。

（7）函数分布

离散型

已知 的分布列为

，

的分布列（ 互不相等）如下：

，

若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

本文关键字: 2016年考研 考研数学 概率与数理统计

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