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2016考研数学复习指导：简单复杂换位思考

2015-05-29 16:35:15来源：网络

　　泰勒公式产生于用简单的函数代替复杂的函数。现在不妨设f(x)为一个复杂的函数，而f(x0)+ f'(x0)(x-x0)+ f''(x0)/2!(x-x0)^2+...+ f(n)(x0)/n!(x-x0)^n是简单的函数，其中x0为给定的实数。肯定有人在犯嘀咕：这不是忽悠人吧?怎么我的感觉和你说的正好相反——你说的复杂的函数我看起来很简单，你说的简单的函数反而看起来很复杂?

　　这还是老问题，我们看问题要看本质：f(x)涉及到复杂的运算，但却披着一个简单的符号表示外壳;那个长长的函数虽然样子复杂，但只涉及到了简单的运算：加法和乘法，人家是多项式!还有小伙伴在疑惑中，真的是多项式吗?请注意一长串符号中哪些是常量，哪些是变量：只有x是变量，其余皆为常数。注意到x的最高次数出现在最后一项，为n次，所以我们可以明正言顺地给这个“长长的式子”起个名字了——n次多项式。

　　请仔细观察，这两个函数有什么关系?计算如下几项即可水落石出：二者在x0的函数值，一阶导数值，二阶导数值，......,n阶导数值。发现什么了?二者的上述数值均相等。这说明什么?说明了二者在x0的附近函数值非常接近。如果画出二者图像，不难得出二者在x0附近的图像很接近。现在咱们的数学问题是不是初步得到解决了：复杂的函数在x0附近和简单的函数——n次多项式近似相等。

　　只是近似相等!数学家仍不满足，他们有“宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王”的情怀，于是考虑：二者到底差多少呢?二者的差值我们称为余项。余项有两种形式：带小o的形式和带中值的形式，分别称为皮亚诺余项和拉格朗日余项(我很想写“张三余项”，可是张三水平不够，未作出相应贡献)。两种形式的公式能在各自的地盘上一显身手：前者用来算极限，后者用来证明。

　　看，泰勒公式已悄然来到我们身边!下面，我们经典再回首，看看“高大上”的泰勒公式到底为何物。泰勒公式的思想是用简单的多项式函数表示复杂的函数。二者的差值用余项表示，余项有两种形式：皮亚诺余项和拉格朗日余项。前者用来算极限，后者用来证明。

　　聊完了计算极限的高级武器——泰勒公式，我们再看打通线代任督二脉的不二法门——秩。秩可谓穿越古今中外。在中国古代，有“品秩”一说，表示官员按照俸禄的排序。在现代社会，请大家用秩组个词?不少同学会想到“秩序”。这个词也有次序的含义。那么秩在英文中对应哪个单词呢?对，rank。rank也有次序，排序之意。总之，秩有级别、排序之意。


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