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2017考研线性代数知识点解读：向量的两个核心概念

2016-06-02 15:29:02来源：网络

　　向量的加法和数乘合起来称为线性运算。通过线性运算，我们可以定义向量的两个核心概念：线性表出和线性相关。具体，关于这两个概念，下文中，新东方在线详细为大家解读。理解了概念才能够进一步去运算。

　　1. 线性表出

　　线性表出，顾名思义，就是用线性的方式表示出来。何为“线性的方式”，怎么表示出来的?我们看一个例子，对于向量组(1 0)，(0 1)和向量(2 3)，(2 3)如何用前两个向量构成的向量组表示?不难发现是(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。大家看，等式的右端只有线性运算(加法和数乘)，这就是前面提到的“线性的方式”。这样我们称向量(2 3)可以由向量组(1 0)，(0 1)线性表出。注意到等号右面的式子是用线性的方式把向量(1 0)，(0 1)组合起来了，所以我们称之为(1 0)，(0 1)的一个线性组合。

　　这样我们就对线性组合及线性表出的概念有了个基本认识。这样是否就够了呢?当然不够。我们在学马克思主义哲学时有“由感性认识上升到理性认识”之说。理性认识更深刻，是对事物本质的把握。尽管感性认识、理性认识用在这里未必恰当，但道理是相通的。我们通过例子对概念的理解很难说把握住了概念的本质。要体会其本质，还是要从严格的定义出发。

　　这里要提醒广大考生：对于考研数学中的一些较难理解的概念，有同学觉得定义太抽象，进而放弃了对定义的理解，而试图通过具体的例子理解概念。觉得弄懂了例子，概念就算是理解了。这是不可靠的。从学知识的角度，弄懂例子谈不上理解了概念的内涵和外延;从考试的角度，考试考查的是考生对概念的理解和运用，某个具体的例子只是一种具体的应用，所以离考试要求有距离。

　　下面我们看一下线性组合和线性表出的定义：

　　对于任意一组实数k1，k2，…，kn，称k1乘alfa1+ k2乘alfa2+…+ kn乘alfan为向量组alfa1，alfa2，…，alfan的一个线性组合。

　　注意到对于同一个向量组，给定一组实数，则得到一个线性组合，可见一个向量组的线性组合有无穷多个。

　　若向量beta能写成alfa1，alfa2，…，alfan的一个线性组合，则称向量beta能由向量组alfa1，alfa2，…，alfan线性表出。

　　关于线性表出的定义需注意以下几点：

　　(1)实数k1，k2，…，kn(或称组合系数)可以全为零，这和线性相关的定义不同。

　　(2)零向量可以由任何同维的向量组线性表出(把实数k1，k2，…，kn取成全为零即可)。

　　(3)向量组里任何一个向量可由向量组线性表出(把该向量对应的实数取成1，其余实数取成零即可)。

　　讨论完线性表出这个核心概念后，我们来讨论向量部分另一个核心概念：线性相关。

　　我们先看一个例子：

　　向量组I：(1 0)，(0 1)，(2 3);向量组II：(1 0)，(0 1).

　　我们观察向量组I，不难发现(2 3)可由其余向量(1 0)，(0 1)线性表出：(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。也可以不太严格地理解成(2 3)为“冗余”向量(它的功能能由其余向量代替)。当然，该等式也能等价变形为2乘(1 0)+3乘(0 1)+(-1)乘(2 3)=(0 0)，也就是能找到不全为零的数2,3，-1把向量组I组合成零向量。我们把这种向量组称为线性相关的向量组。有三个理解角度：1)存在不全为零的数将其组合起来构成零向量(即定义);2)至少存在一个向量能由其余向量线性表出(对应一个定理);3)向量组中有冗余向量(“朴素的理解方式”)。

　　再观察向量组II，发现其情况与向量组I正好相反。我们也可以从三个角度理解它：1)不存在不全为零的数将其组合起来构成零向量;2)不存在任何一个向量能由其余向量线性表出;3)向量组中没有冗余向量。另外，第1)点还可以等价地描述成：若用实数将向量组合起来使其为零向量，则这组实数必全为零。我们把这种向量组II这种类型的向量组称为线性无关的向量组。线性无关是和线性相关相对应的一个概念。

　　通过对上面这个小例子的分析，我们对线性相关和线性无关这两个概念有了基本认识。要想有更深刻的认识，我们需要深入探究其定义。

本文关键字: 考研数学 线性代数 2017考研

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