新东方在线网络课堂 考研 新东方在线 > 考研 > 考研数学 > 考研数学高数 > 正文

2018考研高数重要定理证明:微分中值定理

2017-02-06 11:58:51 来源:网络考研资料下载

  这一部分内容比较丰富,包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求会证。

  费马引理的条件有两个:1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值,结论为f'(x0)=0。考虑函数在一点的导数,用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0),对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式,不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号,如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。

  费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的,那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三:“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”,结论是在开区间存在一点(即所谓的中值),使得函数在该点的导数为0。

  该定理的证明不好理解,需认真体会:条件怎么用?如何和结论建立联系?当然,我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的:已经有了证明过程,我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代,证出该定理,那可是十足的创新,是要流芳百世的。

  闲言少叙,言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理,那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论,不难发现是一致的:都是函数在一点的导数为0。话说到这,可能有同学要说:罗尔定理的证明并不难呀,由费马引理得结论不就行了。大方向对,但过程没这么简单。起码要说清一点:费马引理的条件是否满足,为什么满足?

  前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”,“可导”不难判断是成立的,那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质,哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。

  那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚,因为直接影响下面推理的走向。结论是:若最值取在区间内部,则最值为极值;若最值均取在区间端点,则最值不为极值。那么接下来,分两种情况讨论即可:若最值取在区间内部,此种情况下费马引理条件完全成立,不难得出结论;若最值均取在区间端点,注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等,由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等,这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数,那在开区间上任取一点都能使结论成立。

  拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果:真题中直接考过拉格朗日定理的证明,若再考这些原定理,那自然驾轻就熟;此外,这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路,适用于证其它结论。

  以拉格朗日定理的证明为例,既然用罗尔定理证,那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形,变成罗尔定理结论的形式,移项即可。接下来,要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后,把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查:根据这个犯罪现场,反推嫌疑人是谁。当然,构造辅助函数远比破案要简单,简单的题目直接观察;复杂一些的,可以把中值换成x,再对得到的函数求不定积分。

本文关键字: 2018考研 高数备考 定理证明

分享到:

考研网络课堂全部课程

联报特惠 【签约】2020考研英语全程班(一、二可选) ¥1490 免费试听
【签约】2020考研数学全程班 ¥890 免费试听
【签约】2020考研政治全程班 ¥990 免费试听
考研公共课 英语 英语二 公共日语 政治 数学 数学零基础
考研专业课 西医专硕中医综合计算机 经济学管理学心理学 教育学历史学 二外日语
专业硕士 法律硕士(法学)法律硕士(非法学)MBA会计硕士教育硕士翻译硕士汉硕 金融硕士
考研直通车
快速响应:购课即开展择校择专业指导,且有一次更换所报专业课机会;
专属小灶:老师直播互动式教学,真正的“零”起点授课,就是让你入门;
专属辅导:班主任+科目老师,多对一全程辅导,智能讲练结合,随时检验效果;
签约重读:一科不过,全科重读,业内最低重读标准

课程试听换一换

  • 2020考研英语进阶全程班超级班会

    ¥0

  • 金融硕士MF通用知识点讲解班

    ¥990

  • 2020考研金融硕士MF全科直通车VIP【学长...

    ¥14999

  • 2020考研金融硕士MF全科直通车VIP【金融...

    ¥9980

  • 2020考研英语进阶全程班(一、二可选)

    ¥1390

  • 2020考研数学零基础进阶全程班

    ¥1390

  • 2020考研数学进阶全程班

    ¥790

  • 2020考研政治进阶全程班

    ¥890

相关推荐

考研交流 • 下载

精品课限量免费领

考研实用 • 工具

考研课程排行榜本周本月

考研公开课更多>>

新东方在线刘源泉解析2020考研政治大纲(1) w 30分56秒
1 新东方在线刘源泉解析2020考研政治大纲(1)
新东方在线刘源泉解析2020考研政治大纲(2) w 12分52秒
2 新东方在线刘源泉解析2020考研政治大纲(2)
新东方在线聂丹解析2020考研政治大纲 w 07分38秒
3 新东方在线聂丹解析2020考研政治大纲
新东方在线桑宏斌解析2020考研政治大纲 w 14分17秒
4 新东方在线桑宏斌解析2020考研政治大纲
新东方在线肖睿解析2020考研政治大纲 w 13分14秒
5 新东方在线肖睿解析2020考研政治大纲

微博直播更多>>

推荐阅读