大连海事大学2021考研大纲（同等学力）：实变函数

　　大连海事大学2021年考研自命题大纲已发布，报考大连海事大学的考生要认真看考研大纲。2021考研统考公共课大纲已于9月9日公布，考研数学考研政治都有不小的变化，新东方在线考研名师为大家进行了详细的考研大纲解读，想一举洞悉增改考点，关注【2021考研新大纲原文及下载大汇总】，下面是新东方在线考研频道为大家整理的大连海事大学2021考研大纲（同等学力）：实变函数

　　大连海事大学硕士研究生入学考试大纲

　　考试科目：实变函数

　　试卷满分及考试时间：试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

　　考试内容

　　一、 集合论基础

　　1. 集合及其运算;

　　2. 集合的基数;

　　3. 可数集与不可数集。

　　二、 Rn中的拓扑

　　1. 开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包 ;

　　2. 开集的构造定理;

　　3. 康托(Cantor)三分集，完备集，疏朗集，稠密集，紧致集。

　　三、 测度理论

　　1. 外测度的概念和基本性质;

　　2. Lebesgue可测集的概念与Caratheodory条件;

　　3. Lebesgue可测集全体W的各种整体性质(如可列可加性等);

　　4. 不可测集的构造;

　　5. Lebesgue可测集的等价概念;

　　6. 代数，s代数，Borel集。

　　四、 可测函数

　　1. 可测函数及其性质;

　　2. 测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛;

　　3. 用连续函数逼近可测函数，鲁金(Lusin)定理。

　　五、 Lebesgue积分

　　1. Lebesgue积分的定义与性质;

　　2. 可测函数列积分收敛定理，Lebesgue积分的绝对连续性;

　　3. Lebesgue积分与Riemman积分的关系;

　　4. 重积分、累次积分、Fubini定理;

　　5. 有界变差函数，绝对连续函数，Lebesgue-Stieltjes积分。

　　基本要求

　　一、 集合论基础

　　1. 熟练掌握 集合各种运算(包括集合列的上、下极限集);

　　2. 理解集合基数、可数集与不可数集等概念，熟练掌握集合基数的比较和计算方法;

　　3. 理解Bernstein定理及Cantor对角线法。

　　二、 Rn中的拓扑

　　1. 掌握度量概念，和由此引出的内点，聚点，导集，闭包，开集与闭集等概念及其性质;

　　2. 理解1维与2维以上欧式空间开集的构造定理，并能在后面的测度理论中意识到它们的区别;

　　3. 掌握完备集，疏朗集，稠密集，紧致集等基本概念，并能对康托(Cantor)三分集、广义康托(Cantor)集做相应探讨。

　　三、 测度理论

　　1. 理解外测度、测度的概念及其区别，能够运用Caratheodory条件推导Lebesgue可测集各种性质;

　　2. 掌握不可测集的构造方法与破坏可列可加性的反例;

　　3. 掌握开集、闭集、Gd集、Fs集与可测集的关系，熟练运用等测包、等测核概念证明集合的可测性;

　　4. 理解代数、s代数、Borel集的概念，掌握Borel集与Lebesgue可测集的关系。

　　四、 可测函数

　　1. 理解可测函数与简单函数之间的关系，并能用可测函数基本概念、简单函数列逼近两种方法证明各种性质;

　　2. 掌握可测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛的关系及证明方法(包括叶果洛夫(Egoroff)定理，黎斯(Riesz)定理)，理解依测度收敛的重要性;

　　3. 掌握连续函数与可测函数的关系，能够运用鲁金(Lusin)定理解决相关问题。

　　五、 Lebesgue积分

　　1. 掌握Lebesgue积分的定义与性质;

　　2. 能够运用Levi引理、Fadou引理、Lebesgue控制收敛定理解决可测函数列积分收敛问题，理解Lebesgue积分的绝对连续性;

　　3. 理解Lebesgue积分与Riemman积分的关系，并能据此进行各种积分运算;

　　4. 理解重积分、累次积分、Fubini定理，并能进行简单的运算;

　　5. 理解Vitali覆盖、单调函数的Lebesgue定理、有界变差函数、绝对连续函数、Lebesgue-Stieltjes积分。

　　参考书目

　　《实变函数论》(第二版)，周民强，北京大学出版社，2008年

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