2021考研数学四大法宝

　　一、考研数学基本信息

　　►考试时间：3小时

　　►考试题型：

　　考研数学试卷共23道题，其中选择题8道，都是单选题，填空题6道，解答题9道，其中含部分证明题，试卷总分是150分。

　　►考试类别：

　　考研数学主要分为3类：数学（一）、数学（二）、数学（三），另外还有一些其它非主流的类别，如农学数学等。

　　►考试范围：

　　数学（一）和数学（三）的考试范围包括高等数学和线性代数、概率统计这三门课程，数学（二）只考高等数学和线性代数两门课程，其中不同类别的具体考试内容有些差异，详细区别可参看考研数学考试大纲。

　　在三类考试中，线性代数和概率统计都是各占22%的比例，其余部分则是高等数学，其中数学（一）和数学（三）中的高等数学占比为56%，数学（二）中的高等数学占比为78%，三类考试中线性代数的考试内容相差不大。

　　►考研数学复习资料主要包括以下几种：

　　①教材：通过教材对考研内容进行细致和全面系统的学习，为后续复习打下一个良好的基础。教材上的大部分习题都应该做，具体教材可以使用大一和大二自己使用的数学教材，或者目前主流的考研复习教材，如同济大学的高等数学（上、下册，第七版）和线性代数（第六版），以及浙江大学的概率论与数理统计（第四版）。

　　②讲义：通过辅导讲义对考试内容和常考题型及方法进行全面复习。如文都教育编写的考研数学辅导讲义，包括：高等数学、线性代数和概率统计辅导讲义。

　　③综合指导书：就是考研数学复习大全之类的书，宗旨是帮助大家建立数学理论体系和方法体系，使用时间是上半年和暑假，使用方法是一边听课一边看书，如果是在基础阶段参考，有些看不懂没关系，后期强化阶段再理解消化。

　　④练习题：通过大量练习使考生熟练地掌握各种解题方法和技巧。如接力题典1800，在基础复习阶段做其中基础篇的习题，在强化阶段做综合提高篇的习题。

　　⑤真题：通过做真题来提高考生在实战中的解题能力和心里上的适应性。

　　二、通过近几年考研数学真题，洞察命题规律

　　1、2018、2019考研数学试题的特点

　　①坚持以考试大纲为指导

　　2019考研大纲是在去年的9月15号发布的，纵观整套试卷，无论是数一、数二还是数三，从试题结构、分值比例还是考试内容，都完全遵从考试大纲。包括数一的假设检验、旋度、曲面积分，数二的曲率，数三的差分方程，都是大纲规定的考察内容。

　　②坚持以真题重点为核心

　　给大家举个例子：2018年数二的第17题，数三的第16题，考察二重积分的计算；对数二数三，二重积分的计算在往年试卷中，几乎每年必考，是重点。2019年的试卷上再次出现。数一的第17题考查曲面积分的计算。对于数一，曲线积分、曲面积分的计算是重点。

　　③坚持以往年真题为参考

　　以18年数学为例，数一和数三的第19题和数二的第21题都在考查数列极限，先证明数列极限存在，再求极限。和2006年数一的第16题，数二的第18题非常类似，解题方法、解题思路都没有变；这样的题，每年都有很多，一定要引起高度重视。

　　2、2020考研数学复习指导建议

　　①重视解题方法

　　例如刚才提到二重积分的计算，是重点题型，几乎每年必考。见到二重积分的计算，我们首先应该想到选择坐标系，直角坐标和极坐标。在用直角坐标时，我们要注意选择积分次序，尽量避免分段。

　　②提高计算能力

　　数学离不开数字，更离不开计算，考研数学满分150，只有个别考察概念的题目不需要计算，剩下140多分的题目都需要计算，包括很多证明题也是在变相的考察计算能力。希望大家从现在开始，养成一个仔细、认真的做题习惯，力争会一个对一个，只有这样，我们最后的考研数学成绩才能达到我们预期的目标。

　　③研究历年真题

　　前面也给大家提到，历年真题具有非常高的重复性，很多年份就变个数字，解题方法和解题思路都不变，我们一定要对历年真题给以高度重视，认真研究，对做错的题目多做几遍，对不会的题目找到解题方法，加以归纳总结。

　　对于2020考研的学生，利用接下来的寒假时间系统复习高等数学的上下册，毕竟高等数学在整个考研数中的重要性和难度都是最大的。

　　三、三大科目的解题思路

　　►高数解题的四种思维定势

　　第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

　　第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

　　第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

　　第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

　　►线性代数解题的八种思维定势

　　第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

　　第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

　　第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。

　　第四句话：若要证明一组向量α1，α2，…，αS线性无关，先考虑用定义再说。

　　第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理

　　第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

　　第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。

　　第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

　　►概率解题的九种思维定势

　　第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式

　　第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式

　　第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组

　　第四句话：若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0，1)来处理有关问题。

　　第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。

　　第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。

　　第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。即令

　　第八句话：凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

　　第九句话：若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用卡方分布，t分布和F分布的定义进行讨论。

　　四、两大题型解题方法

　　1、单选题

　　单选题的解题方法总结一下，也就下面这几种。

　　►方法1：直推法

　　直推法即直接分析推导法。直推法是由条件出发，运用相关知识，直接分析、推导或计算出结果，从而作出正确的判断和选择。计算类选择题一般都用这种方法，其它题也常用这种方法，这是最基本、最常用、最重要的方法。

　　►方法2：反推法

　　反推法即反向推导或反向代入法。反推法是由选项(即选择题的各个选项)反推条件，与条件相矛盾的选项则排除，相吻合的则是正确选项，或者将某个或某几个选项依次代入题设条件进行验证分析，与题设条件相吻合的就是正确的选项。

　　►方法3：反证法

　　在选择题的4个选项中，若假设某个选项不正确(或正确)可以推出矛盾，则说明该选项是正确选项(或不正确选项)。选择先从哪个选项着手证明，须根据题目条件具体分析和判断，有时可能需要一些直觉。

　　►方法4：反例法

　　如果某个选项是一个命题，要排除该选项或说明该命题是错误的，有时只要举一个反例即可。举反例通常是用一些常用的、比较简单但又能说明问题的例子。如果大家在平时复习或做题时适当注意积累一下与各个知识点相关的不同反例，则在考试中可能会派上用场。

　　►方法5：特例法（特值法）

　　如果题目是一个带有普遍性的命题，则可以尝试采取一种或几种特殊情况、特殊值去验证哪些选项是正确的、哪些是错误的，或者哪些极有可能是正确的或错误的，从而做出正确的选择。

　　►方法6：数形结合法

　　根据条件画出相应的几何图形，结合数学表达式和图形进行分析，从而做出正确的判断和选择。这种方法常用于与几何图形有关的选择题，如：定积分的几何意义，二重积分的计算，曲线和曲面积分等。

　　►方法7：排除法

　　如果可以通过一种或几种方法排除4个选项中的3个，则剩下的那个当然就是正确的选项，或者先排除4个选项中的2个，然后再对其余的2个进行判断和选择。

　　►方法8：直觉法

　　如果采用以上各种方法仍无法作出选择，那就凭直觉或第一印象作选择。虽然直觉法不是很可靠，但可以作为一种参考，况且人的直觉或第一印象有时还是有一定效果的。

　　在以上方法中，基本的方法是直推法，就是运用数学基本知识和方法进行分析判断，从四个选项中找出符合要求的那个选项；排除法是对所有考试中做选择题都适用的方法，是一种普遍性的方法；反例法是针对以数学命题作为选项的题目很有用和有效的一种方法，运用得当可以很快找出答案；数形结合法则是针对与几何图形有关的题目很有用的一种方法。

　　2、大题

　　接下来提供给大家几个大题的答题技巧，大家认真领会方法，要做到活学活用。

　　►踩点得分

　　对于同一道题目，有的人解决得多，有的人解决得少。为了区分这种情况，阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分，这种方法我们叫它“踩点给分”.

　　鉴于这一情况，考试中对于难度较大的题目采用一定的策略，其基本精神就是会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。

　　有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”。

　　对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中得点分。

　　有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。其实你要做的是认认真真把你解题的真实过程原原本本写出来，就是最好的得分技巧。

　　►大题拿小分

　　如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。

　　特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”，确实是个好主意。

　　卡壳处先留白，以后推前：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。

　　由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答。

　　也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持卷面的工整。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。

　　►以退求进

　　“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。

　　为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。这个技巧需要同学们做题做到一定境界来体会，如果可以做到这一步，那么什么难题都不是难题了。