2021西北师范大学自命题考研大纲：实变函数

　　《实变函数》 考试大纲

　　一、 考核概要

　　实变函数是数学与应用数学的专业课之一。通过本课程的学习，使学生掌握实变函数的基本理论、基本知识与基本方法，为以后进一步的深入学习其它学科打下坚实的基础。本课程的具体要求有：掌握集合论的基本理论;初步掌握和了解测度论的基本知识;熟练掌握可测函数的基本概念和基本性质，初步掌握lebesgue 积分的理论和方法。

　　本课程的要求：要求学生能熟练地掌握对等和基数的概念，可数集的定义和性质，n维欧氏空间中聚点、内点和界点的定义，开集、闭集、完备集的概念和性质。初步理解和掌握可测集和不可测集的刻化和基本性质。熟练掌握可测函数的性质，几乎处处收敛与依测度收敛的关系和基本的推导方法。初步掌握lebesgue 积分的的性质，能用有关定理极其它与Riemann积分的关系去处理一些简单的问题。

　　二、 考核要点及要求

　　第一章 集合

　　1、知识点

　　集合的概念和运算，对等与基数，可数集合，不可数集合，半序集和曹恩引理

　　2、考核要求

　　1)掌握集合交，并、余等运算和上、下极限的定义和基本运算;

　　2)熟练掌握集合的对等的定义与性质;能熟练应用伯恩斯坦(Bernstein)定理证明集合的对等关系;

　　3)理解基数的定义;掌握可数集与不可数集的性质，会判断给定的集合是否可数。

　　第二章 点集

　　1、 知识点

　　度量空间(n维欧氏空间)，聚点、内点和界点，开集、闭集、完备集极其构造

　　2、考核要求

　　1) 理解和掌握度量空间的定义，邻域的性质，有界点集的定义和n维区间的体积;

　　2) 熟练掌握n维区间点的关系，聚点、内点和界点的定义聚点与等价条件;

　　3) 掌握开核、边界和导集的概念和性质极其相互关系;

　　4) 理解和掌握开集、闭集和完备集的性质;

　　5) 理解开集的构成区间与余区间，了解开集、闭集的构造;熟练掌握康托尔集的构成和性质。

　　第三章 测度论

　　1、 知识点

　　约当测度，Lebesgue 外测度和内测度，可测集

　　2、考核要求

　　1)测度的定义和性质;

　　2)掌握Lebesgue 外测度和内测度的定义和基本性质;

　　3)练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。

　　4) 掌握零测集的性质;开集、闭集的可测性;

　　5) 约当测度与Lebesgue测度的关系;

　　6) 解特殊的两类集合，波雷耳集。

　　第四章 可测函数

　　1、知识点

　　可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛

　　2、考核要求

　　1)熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念;

　　2)理解叶果洛夫定理;

　　3)理解并掌握鲁津定理及其逆定理;

　　4)熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese定理和Lebesgue收敛定理

　　第五章 积分论

　　1、知识点

　　Riemann积分，勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理

　　2、考核要求

　　1)了解由确界式定义的Riemann积分，及Riemann积分的缺陷;

　　2)理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件;可积的四则运算，勒贝格积分与Riemann积分的关系;

　　3)熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性 ;

　　4)熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质。

　　5)牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L 逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。

　　三、参考书目

　　1.《实变函数与泛函分析》，程其襄，张奠宙，胡善文等编，第3版，高等教育出版社，2010.6.

　　2.《实变函数论》,周民强 编著，北京大学出版社，2001.7

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