2022陕西科技大学自命题考研大纲：高等数学

　　陕西科技大学硕士研究生入学考试

　　《高等数学》考试大纲

　　考核要点

　　第一章 函数、极限、连续

　　基本要求：

　　1.在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性)的了解。

　　2.理解复合函数的概念，了解反函数的概念。

　　3.会建立简单实际问题中的函数关系式。

　　4.理解极限的概念，了解极限的 定义。

　　5.熟练掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。

　　6.了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则)，会用两个重要极限 与 求极限。

　　7.了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。

　　8.理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念。

　　9.了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。

　　10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。

　　本章重点：极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限 , 函数的连续性。

　　本章难点：极限的定义，极限存在准则。

　　第二章 导数与微分

　　基本要求：

　　1.理解导数的概念及其几何意义(不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题)，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

　　2.了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。

　　3.熟练掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。

　　4.理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性。

　　5.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数一阶、二阶导数的求法(不要求学生求函数的 阶导数的一般表达式)。

　　6.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。

　　本章重点：导数的定义，初等函数导数的求法(一阶及二阶)。

　　本章难点：复合函数求导法，高阶导数的求法。

　　第三章 中值定理与导数的应用

　　基本要求：

　　1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理(对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧)，会用洛必达(L'Hospital)法则求不定式的极限。

　　2.了解泰勒(Taylor)定理以及用多项式逼近函数的思想(对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求)。

　　3.理解函数的极值概念，熟练掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。

　　4.会用导数判断函数图形的凹凸性，会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。

　　5.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

　　6.了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。

　　本章重点：罗尔定理，拉格朗日定理， 洛必达 法则，用导数判断函数的单调性及极值。

　　本章难点：泰勒定理。

　　第四章 不定积分

　　基本要求：

　　1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。

　　2.熟练掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法(对待定系数法分解，不作过高要求)。

　　本章重点：不定积分的换元积分法、分部积分法。

　　本章难点： 换元积分法.

　　第五、六章 定积分及其应用

　　基本要求：

　　1.理解定积分的概念和几何意义(对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求)，了解定积分的性质和积分中值定理。

　　2.理解原函数与不定积分的概念，理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿(Noewton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。

　　3.掌握定积分的换元法与分部积分法。

　　4.掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法(微元法)，会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。

　　5.了解两类反常积分及其收敛性的概念。

　　6.了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)的思想。

　　本章重点：定积分的换元积分法、分部积分法，变上限函数及其求导定理，牛顿 – 莱布尼兹公式。

　　本章难点： 换元积分法。

　　第七章 微分方程

　　基本要求：

　　1.了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。

　　2.掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。

　　3.会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想。

　　4.会用降阶法求下列三种类型的高阶方程： ， 。

　　5.理解二阶线性微分方程解的结构。

　　6.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

　　7.会求自由项形如 ， 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中 为实系数 次多项式， 为实数。

　　8.会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题。

　　本章重点：

　　可分离变量及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程解法， 自由项为 的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。

　　本章难点：

　　伯努利方程和全微分方程的解法， 自由项为 的二阶常系数非

　　齐次线性微分方程特解的求法 。

　　第八章 空间解析几何与向量代数

　　基本要求：

　　1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。

　　2.熟练掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，了解两个向量垂直、平行的条件。

　　3.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

　　4.熟练掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

　　5.理解二次曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。

　　6.了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。

　　7. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影批;了解二次曲面的分类。

　　本章重点：空间直线、平面方程，常用的二次曲面方程。

　　本章难点：曲面方程。

　　第九章 多元函数微分学

　　基本要求：

　　1.理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。

　　2.了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。

　　3.理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

　　4.了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法。

　　5.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

　　6.熟练掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

　　7.会求隐函数(包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数(对求二阶偏导数不作要求);了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。

　　8.理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

　　本章重点：

　　二元函数偏导数的概念，复合函数一阶、二阶偏导数的求法，二元函数的极值，拉格朗日乘数法。

　　本章难点：

　　复合函数(抽象函数)、隐函数的二阶偏导数求法，方向导数与梯度的概念，拉格朗日乘数法。

　　第十章 重积分

　　基本要求：

　　1.理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质。

　　2.熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标，球面坐标)。

　　3.会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、立体的体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等)

　　本章重点：二重积分和三重积分的计算方法，两类曲线、曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式。

　　本章难点：

　　三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下的计算方法。第二类曲线、曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式。

　　第十一章 曲线积分与曲面积分

　　基本要求：

　　1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分(对于空间曲线积分的计算只作简单训练)。

　　2.掌握格林(Green)公式，会使用平面线积分与路径无关的条件，了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义;了解两类曲面积分的概念及其计算方法。

　　4.了解高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式(斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求)。

　　5.了解场、散度、旋度的概念和某些特殊场(无源场、无旋场与调和场)，会计算散度与旋度。

　　6.了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法(微元法)，会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。

　　第十二章 无穷级数

　　基本要求：

　　1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。

　　2.了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与P-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

　　3.了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

　　4.了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(对求幂级数的和函数只要求作简单训练)。

　　5.会利用 ， ， ， 与 的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

　　6.了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。

　　7.了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在 和 上的函数展开为傅里叶级数，会会将定义在 上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。

　　本章重点：

　　几何级数、 级数的敛散性， 正项级数的比较、比值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，幂级数收敛半径及收敛区间的求法，函数展开成幂级数，简单的幂级数和函数的求法。

　　本章难点：正项级数的比较判别法，用间接法将函数展开为幂级数，幂级数的和函数的求法，泰勒级数。

　　参考书目：《高等数学》(第七版)，同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2014