考研心理学考点背诵：推断统计的数学基础

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　　考研心理学考点背诵：推断统计的数学基础

　　概率

　　1. 推断统计：从样本出发来推断总体分布。推断统计是统计分析的核心。 2. 概率：又称或然性、几率，是表明随机事件出现可能性的客观指标。 3. 后验概率、先验概率： (1)后验概率：又称统计概率，对随机事件进行多次观测时，当观测次数趋于无穷，某一事件出现的次数和观测次数的比值趋于一个恒定值。 (2)先验概率：又称古典概率，当观测的每一种可能结果是已知有限的，而且出现的可能性相等，可以直接得到真实概率而不是估计值。 4. 当观测次数足够多，后验概率会趋于先验概率 5. 概率的基本性质： (1)公理1：任何一个随机事件A的概率都是非负的。 (2)公理2：在一定条件下必然发生的事件，即必然事件的概率为1。 (3)公理3：在一定条件下必然不发生的事件，即不可能事件的概率为0。 (4)0 ≤ P(A) ≤ 1 (5)加法定理：两个互不相容事件A. B之和的概率，等于两个互不相容事件概率之和。P(A + B) = P(A) + P(B) (6)乘法定理：两个独立事件同时发生的概率，等于两个独立事件各自发生概率的乘积。P(A•B) = P(A)•P(B) 6. 概率分布：对随机变量取值的概率情况用数学函数进行描述。 7. 离散分布：随机变量只取孤立的数值。二项分布、泊松分布、超几何分布等。 8. 连续分布：随机变量是连续范围中的数值。正态分布、指数分布、威布尔分布等。 9. 经验分布：根据观测获得的数据得出的次数分布或相对频率分布。 10. 理论分布：数学模型或通过数学模型计算出的总体次数分布。 11. 基本随机变量分布：二项分布、正态分布。 12. 抽样分布：样本统计量的理论分布。

　　正态分布

　　1. 正态分布：又称高斯分布、常态分布、常态分配。 2. 正态分布函数曲线 3. 正态分布函数公式 4. 特点： (1)钟型对称曲线，对称轴是平均数，拐点在1个标准差处; (2)两端无限延伸下降，但永不与横轴相交; (3)曲线下面积为1; 5. 标准正态分布：μ = 0，σ2 = 1 6. 几个重要的Z值：Z0.05/2 = 1.96，Z0.01/2 = 2.58，Z0.05 = 1.65，Z0.01 = 2.33 7. 正态分布应用： (1)化等级评定为测量数据 (2)确定测验题目的难易度 (3)能力分组或等级评定时确定人数 (4)测验分数的正态化

　　二项分布

　　1. 二项分布：又称伯努利分布，实验仅有两种不同性质结果的概率分布。 2. 定义：设有n次实验，各实验相互独立，每次实验某事件发生概率为p，不发生概率为q(1 - p)，则某事件发生X次的概率分布为b(x, n, p) 3. 二项分布公式 4. 二项分布性质： (1)p = q时，分布对称 (2)p ≠ q时，分布偏态，但是随着n的增大，偏态逐渐降低。当p < q且np ≥ 5时，二项分布接近正态分布 5. 二项分布的平均数、标准差公式 6. 注意：正态分布中X 的值是一段, 而并非一点, 所以当二项分布近似为正态分布时，需要考虑精确上下限。因为我们是在用连续型分布 (正态) 来估计离散型分布的值。 7. 二项分布应用：解决猜测导致的机遇问题

　　t分布

　　1. t分布：又称学生氏分布 2. 特点： (1)左右对称，峰态比较高狭 (2)均值为0，方差大于1 (3)样本容量趋于无穷时，t分布为标准正态分布(均值为0，方差为1) (4)t0.05/2(30) = 2.042，Z0.05/2 = 1.96 (5)总体分布为正态，标准差σ未知，样本平均数分布为t分布。 (6)总体分布非正态，标准差σ未知，当样本足够大(n ≥ 30)，样本平均数分布接近t分布。 (7)样本平均数分布的平均数 = μ 样本平均数分布的标准误为，注：s为样本标准差，自由度为n-1

　　F分布

　　1. χ2分布：正态总体中，随机抽取n个Xi，它们的平方和的分布即为χ2分布。 2. 总体χ2： ; 样本χ2： 3. 特点： (1)正偏态，没有负值 (2)具有可加性，χ2分布的和也是χ2分布，自由度为各自由度之和。 (3)df增加，峰态平缓，自由度趋于无穷时，χ2分布为正态分布 4. 应用：样本方差和总体方差差异是否显著，顺序型、命名型变量的显著型检验，两个顺序型、命名型变量的相关检验。 5. F分布 (1)F分布：两个正态总体，每个样本中随机抽取容量为n1、n2的样本，每个样本都可以得到相应的χ2和df，每个χ2除以对应的df后的比值，就是F值。 (2)F分布的曲线 (3)特点：正偏态，没有负值 df1，df2增加，F分布趋于正态分布 分子自由度为1时，F值等于与分母自由度相同的t值的平方 F0.05(1，20) = 4.35 = t0.05/2(20)2 6. 应用：检验两个样本方差的显著性

　　样本平均数分布

　　1. 样本分布：实际研究中，往往无法对总体分布进行直接考察，从这个总体中抽取出部分个体组成样本进行考察，抽取出来的样本的分数就形成了样本分布。 2. 抽样分布：从统一总体中可以抽取出很多样本。总体中所有可能抽取的特定容量的统计量(平均数、标准差等)所形成的分布就是抽样分布。 3. 总体分布、样本分布、抽样分布的区别：总体分布、样本分布是原始分数的集合，抽样分布是参数或统计量的集合 从同一总体取n次不同样本，每一个都不同形状、不同均值、不同方差，所有这些可能的样本会组成一个简单，有序，可预测的模式 (样本分布)。因为统计量是由样本得来，所以统计量的分布可以代表样本的分布。 4. 样本均值分布：总体中可抽取的所有可能的特定容量(n)的随机样本的集合的样本均值。 5. 正态分布和接近正态分布： (1)特点：样本均值分布在形状上接近正态分布。当n ≥ 30时，无论总体分布形状如何，样本均值分布几乎就是正态分布 (2)样本均值分布： 总体分布为正态，标准差σ已知，样本平均数分布为正态分布。 总体分布非正态，标准差σ已知，当样本足够大(n ≥ 30)，样本平均数分布接近正态分布。 6. 样本平均数分布的平均数、标准差和总体平均数、标准差的关系： (1)大数定律：样本容量(n)越大，样本越能准确地代表总体。 (2)中心极限定律 (3)样本平均数分布的平均数公式 (4)样本平均数分布的标准差(标准误)其公式 (5)标准误(SE)定义公式 (6)样本平均数的平均数和总体平均数一样，样本平均数的标准误和总体标准差成正比，和样本容量的平方根成反比。 7. 标准误的应用：抽样时样本大小的选取。 8. 标准差：总体中某个数值到总体均值的距离，统计量 9. 标准误：某个样本均值到总体均值的距离，统计量 10. 最大允许误差：先验参数 11. 样本方差、标准差的分布：样本标准差的平均数和总体标准差一样，样本标准差的标准误和总体标准差成正比，和样本容量的平方根成反比。 12. 样本标准差分布的平均数公式 13. 样本标准差分布的标准误公式 14. 一般方差、标准差的统计多用精确分布(χ2)

　　抽样原理与抽样方法

　　1. 抽样的意义：节省人力物力，节省时间提高效率，保证研究结果的准确 2. 抽样的基本原理：随机化。在进行抽样时，总体中每一个体是否被抽取，不是由研究者主观决定，而是遵循概率。 3. 抽样方法： (1)简单随机抽样：抽取时，总体中每个个体具有独立的、等概率的抽取可能性。 抽签法，随机数字法 优缺点：(1)最符合随机原则 (2)总体很大，编号困难，难以抽签 (3)忽略总体的已有信息，样本代表性降低 (2)等距抽样：又称系统抽样、机械抽样。将以编号的个体排序，每隔若干个抽取一个。 (3)分层随机抽样：简称分层抽样。按照总体已有的某些特征，将总体分成几个不同的部分(层)，再分别在每一层中随机抽样。 (4)分层原则：各层内变异要小，层间变异要大，各层人数不一定要相等。 按各层人数的比例分配：人数多的层多分配，人数少的层少分配。 设总体人数为N，某层人数为Ni，总抽样数为n，该层抽样数为ni，则ni = n•Ni / N 4. 分层随机抽样优缺点： (1)充分利用总体已有信息 (2)抽样的代表性高 (3)样本容量相同的时候，分层抽样的抽样误差小于简单随机抽样的抽样误差 5. 最佳分配：标准差大的层多分配，标准差小的层少分配。 先在各层抽一个小样本计算样本标准差si，则ni = n•(Ni•si) / (ΣNi•si) 6. 两阶段随机抽样：第一阶段先随机抽取较大的群体，第二阶段在第一阶段抽取出来的群体中随机抽取个体。(注意，与分层抽样的异同。) 7. 优缺点： (1)两阶段随机抽样比简单随机抽样的抽样误差要大 (2)简便易行，节省成本

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