2024年MPA复习：单纯形法的进一步使用

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　　2024年MPA复习：单纯形法的进一步使用

　　一、 目标函数值最小的问题(min型)

　　有三种处理方式，可以选择任何一种：

　　(1)在第2.1.3节中介绍过，将求目标函数值最小的问题转化为求目标函数值最大问题。如果目标函数是min z =∑cjxj的形式，可令z=-z′，这样就将目标函数转化为max z′ =-∑cjxj，然后用单纯形法求解即可。

　　(2)保持目标函数的min型不变，通过检验数的判断来处理。最优解的判断方法和max型的相反，即全部检验数cj-zj≥0时就达到最优，否则继续迭代;另外，换入变量的确定方法是选取检验数最小的非基变量作为换入变量，确定换出变量的方法与max型的方法一样。

　　(3)将单纯形表中检验数的形式改变。即将单纯形表中的检验数cj-zj改写为zj-cj的形式，最优解的判断方法、换入变量的确定和换出变量的确定与max型的方法相同。

　　二 约束条件方程为“≥”型

　　将“≥”型的约束条件方程左边减去多余变量即可转化为“=”型的约束条件方程。

　　同时知道，确定初始基本可行解的方法是将单位矩阵所对应的变量作为基变量，但多余变量的系数是-1，不能构成单位矩阵，即不能将多余变量作为初始基变量。如果在变化后的约束条件方程组的矩阵中寻找不到单位矩阵，解决的方法就是：

　　通过人为构造变量来生成单位矩阵，把人为构造的变量称为人工变量。为了不使人工变量对目标函数值产生影响，在求目标函数最大或最小的问题中，人工变量的cj值分别设为充分小或充分大的数即-M或M，这样，人工变量进入最优解的可能性很小。

　　对偶单纯形法

　　三 两阶段法求解思路

　　(1)第一阶段：构造新目标函数代替实际目标函数，用单纯形法求解。

　　若目标函数是max型，设人工变量的目标函数系数cj=-1，其余变量的目标函数系数cj=0;

　　若目标函数是min型，设人工变量的目标函数系数cj=1，其余变量的目标函数系数cj=0;(计算出来无最优解：cj-zj>0,aij<0)

　　(2)第二阶段：恢复原来的目标函数，继续用单纯形法求解。

　　恢复原来目标函数的步骤是：

　　A、将第一阶段最优单纯形表中人工变量的列去掉;

　　B、恢复原来的目标函数的系数;

　　C、重新计算检验数，并继续用单纯形法求解。

　　四 约束条件方程为“=”型

　　有两种处理方式，可以选择任何一种：

　　(1)在约束条件方程中加入人工变量，使系数矩阵能构成一个单位矩阵，再用大M法或两阶段法求解。

　　(2)将等式变为两个非等式，如x1+2x2=10可以用x1+2x2≤10和x1+2x2≥10两个不等式来代替，这样变化后，可以在这两个方程中分别加进松弛变量、减去多余变量或者加入人工变量，再按照前面的方法求解即可。

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