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2025考研数学高数复习极限的计算

2024-02-23 08:21:29来源:网络

  为了让考研的同学更高效地复习考研数学新东方在线考研频道归纳整理了“2025考研数学高数复习极限的计算”,备考考研数学的同学可以了解一下,希望对大家有所帮助。

2025考研数学高数复习极限的计算

  第三,极限的计算。这一部分是重中之重,这也是三大计算中的第一大计算,每年必考的题目,所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。首先要知道基本的极限的计算方法,比如:四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理,除此之外还要泰勒展开,利用定积分定义求极限。其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展,比如:四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限,是无穷比无穷形式的,分别抓分子和分母的最高次计算结果即可),等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用,加减法中不能直接应用,如需应用必须加附加条件,计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式,进一步说就是第一要熟练掌握基本公式,第二要知道怎么推广,也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换,并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零,满足则可以利用推广后的等价无穷替换公式,否则不能。

  下面给出推广后公式:f(x)→0,f(x)~sinf(x)~arcsinf(x)~tanf(x)~arctanf(x)~expf(x)-1~ln(f(x)+1),1-cosf(x)~0.5(f(x))2,(1+f(x))a~af(x)。

  第三要能将变形的无穷小替换公式转化为标准形式,比如:公式中固定出现的“1”和f(x)为无穷小量。希望同学们在做题目的时候多加注意,熟能生巧。

  极限的第三种方法就是洛必达法则。首先,要想在极限中使用洛必达法则就必须要满足洛必达法则

  洛必达有两种,无穷比无穷,零比零,分趋近一点和趋近于无穷两种情况,以趋近于一点来说明法则条件,

  条件一:零比零或者无穷比无穷(0/0,∞/∞);条件二:趋近于这一点的去心领域内可导,且分母导数不为零;条件三:分子导数比分母导数的极限存在或者为无穷,则原极限等于导数比的极限。

  在这里要注意极限计算中使用洛必达法则必须同时满足这三个条件,缺一不可,特别要注意条件三,导数比的极限一定是存在或者为无穷,不能把无穷认为是极限不存在,因为极限不存在还包括极限不存在也不为无穷这种情况,比如:x趋近于零,sin(1/x)的极限不存在也不为无穷。每次使用都必须验证三条件是否同时满足。

  再来看看重要极限,重要极限有两个,一个是x趋近于零时,sinx/x趋近于零,另一个是x趋近于零时,(1+x)1/x趋近于e,或者写成x趋近于无穷,(1+1/x)x趋近于e(1∞形式),总结起来就是(1+无穷小量)无穷小量的倒数,所以要记住重要极限的特点,并可以将其推广,即把x换成f(x),在f(x)趋近零,sinf(x)/f(x)趋近于零,(1+f(x))1/f(x)趋近于e,或f(x)趋近无穷,(1+1/f(x))f(x)趋近于e,还要注意当给你幂指函数的极限计算,先要判断他是不是1∞形式,如果是,就可以考虑利用重要极限解决,凑出相应的形式就可以得出结论。

  这里还要特别的提一下几个未定式(∞-∞,0·∞,1∞,00,∞∞),这五个未定式需要转化为0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通过通分、提取或者代换将其转化,0·∞可以将0或者∞放在分母上,以实现转化,1∞,00,∞∞利用对数恒等变化来实现转化,其中1∞还可以利用重要极限计算。

  综上所述,等价无穷小替换和重要极限要掌握基本公式和推广,可以将任意变形公式转化为标准形式,并且给定一个极限首要任务就是利用等价无穷替换公式化简。洛必达法则处理七种未定式,灵活地将不同形式的极限转化为0/0或∞/∞,计算时注意满足洛必达法则的三个条件,希望同学们可以掌握基础,灵活地解决不同类型的极限。

  以上是新东方在线考研频道为考生整理的“2025考研数学高数复习极限的计算 ”相关内容,希望对大家有帮助,新东方在线考研频道小编预祝大家都能取得好成绩。

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