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2025考研数学线性代数矩阵对角化解析

2024-08-02 07:31:16来源：网络

　　为了让考研的同学更高效地复习考研数学，新东方在线考研频道归纳整理了“2025考研数学线性代数矩阵对角化解析”，备考考研数学的同学可以了解一下，希望对大家有所帮助。

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　　首先是矩阵对角化的概念：对于n阶矩阵A，若存在一个n阶可逆矩阵P，使P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵)成立，则称A可相似对角化，否则就称A不可对角化。概念是要牢记于心的。

　　重要定理：若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵Λ的n个主对角线元素必是A的n个特征值λ1，λ2，…，λn(包括重根)，其相似变换矩阵P的n个列向量X1，X2，…，Xn是A的分别属于λ1，λ2，…，λn的特征向量，且X1，X2，…，Xn线性无关，即有：P-1AP=Λ，其中Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，P=(X1，X2，…，Xn)为可逆阵，且AXj=λXj(j=1，2，…，n).

　　并非所有的n阶矩阵都可对角化，只有满足一定条件的矩阵才可对角化，下面是几个相关结论：

　　结论1：n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

　　结论2：若n阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则A必可对角化。

　　结论3：设λi是矩阵A的任一个特征值，其代数重数为ni(即λi是ni重特征值)，其几何重数为mi(即属于λi的线性无关的特征向量的最大个数，也是齐次线性方程组(λiE-A)X=0的基础解系中的向量个数，mi=n-r(λiE-A))，则恒有mi≤ni。

　　结论4：设n阶矩阵A的两两不等的特征值为λ1，λ2，…，λs(1≤s≤n)，则矩阵A可对角化的充分必要条件是，对A的每一个特征值λi，都有mi=ni(i=1，2，…，s)。

　　以上是新东方在线考研频道为考生整理的“2025考研数学线性代数矩阵对角化解析”相关内容，希望对大家有帮助，新东方在线考研频道小编预祝大家都能取得好成绩。

本文关键字: 考研数学线性代数 考研数学 线性代数

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