湖北大学2025年自命题考研大纲：数学与统计学学院-高等代数

　　考对于考生来说，院校自命题考研大纲是了解考试要求、指导复习的重要依据。考生应根据大纲的要求，有针对性地进行复习，并结合自身的兴趣和特长，做好专业选择和备考规划。小编在这里为大家整理了“湖北大学2025年自命题考研大纲：数学与统计学学院-高等代数”，供大家参考。

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2025 年硕士研究生招生考试湖北大学自命题 科目考试大纲

科目代码：601 科目名称：高等代数

第一部分 考试说明

一、考试性质

高等代数是为全国硕士研究生入学考试数学与统计学学院 数学各专业及研究方向设置的考试课程之一。要求考生比较系 统地理解高等代数的基本概念及基本理论， 掌握高等代数的基 本思想和方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空 间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决 问题的能力。

二、考试范围

多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、 线性变换、λ-矩阵、欧氏空间。

三、考试形式与试卷结构

1. 答卷方式: 闭卷，笔试;

2. 答题时间:180 分钟;

3. 试卷满分:150 分;

4. 题型结构: 计算题、证明题、综合题。

第二部分 考查要点

一、多项式

1. 数域与一元多项式的概念;

2. 多项式整除、带余除法、最大公因式的存在唯一性、辗 转相除法;

3. 互素的性质和判定;

4. 不可约多项式及其性质、因式分解定理;

5. 重因式的判定与求法、重因式与重根;

6. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质;

7. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解;

8. 本原多项式、高斯 (Gauss) 引理、有理系数多项式的因式 分解、爱森斯坦因 (Eisenstein) 判别法、有理数域上多项式的 有理根。

二、行列式

1. 行列式的定义;

2. 行列式的性质;

3. 行列式的计算;

4. 行列式按一行 (列) 展开;

5. 拉普拉斯 (Laplace) 展开定理;

6. 克拉默 (Cramer) 法则。

三、线性方程组

1. 消元法解线性方程组、线性方程组的初等变换、线性方 程组的一般解;

2. n 维向量空间的定义与基本性质;

3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的 等价;

4. 向量组的极大无关组、向量组的秩;

5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系;

6. 线性方程组的有解判别定理、线性方程组解的结构;

7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数。 四、矩阵

1. 矩阵的概念;

2. 矩阵的运算 (加法、数乘、乘法、转置等运算) 及其运算 律;

3. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系;

4. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件;

5. 分块矩阵及其运算与性质;

6. 初等变换、初等矩阵、矩阵的相抵等价标准形;

7. 分块初等变换、分块初等矩阵。

五、二次型

1. 二次型及其矩阵表示、矩阵的合同;

2. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变

换法、正交变换法;

3. 复二次型的规范标准形、实二次型的规范标准形、惯性 定理、正惯性指数、负惯性指数、符号差;

4. 正定、半正定二次型及正定、半正定矩阵。

六、线性空间

1. 线性空间的定义与简单性质;

2. 线性组合、线性相关、线性无关、线性表示、极大线性 无关组;

3. 维数、基与坐标;

4. 基变换与坐标变换、过渡矩阵;

5. 线性子空间的定义与判别、子空间分解;

6. 子空间的交与和、维数公式;

7. 子空间的直和;

8. 线性空间的同构。

七、线性变换

1. 线性变换的定义;

2. 线性变换的运算及其代数结构;

3. 线性变换的矩阵、相似矩阵;

4. 特征值与特征向量;

5. 可对角化的线性变换、可对角化的矩阵的判定和计算;

6. 线性变换的值域与核、秩与零度定理;

7. 不变子空间和导出变换;

8. 特征子空间、特征值的代数重数、几何重数;

9. 零化多项式和极小多项式、哈密尔顿-凯莱 (Hamilton- Cayley) 定理。

八、λ-矩阵

1. λ-矩阵、多项式矩阵和矩阵多项式;

2. λ-矩阵在初等变换下的标准形;

3. 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子;

4. 相似不变量、矩阵相似的条件;

5. 不变因子与矩阵的有理标准形的对应;

6. 初等因子与矩阵的若尔当标准形的对应;

7. 若尔当标准形及其对应的不变子空间分解;

8. 根子空间、循环子空间分解。

九、欧氏空间

1. 内积和欧氏空间的定义与基本性质、向量的长度、夹角 与正交、度量矩阵;

2. 标准正交基、施密特 (Schmidt) 正交化方法、标准正交基 的过渡矩阵、正交矩阵;

3. 欧氏空间的同构;

4. 正交变换判别及性质;

5. 正交子空间、正交补空间、正交投影;

6. 对称变换的性质、实对称矩阵的正交相似标准形、主轴 定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形;

7. 向量到子空间的距离、最小二乘法;

8. 极分解与奇异值分解。

第三部分 主要参考书目

1. 王萼芳，石生明修订，北京大学数学系前代数小组编. 高 等代数, 第五版. 北京: 高等教育出版社，2019.5.

2. 徐运阁， 章超， 廖军编. 高等代数. 北京: 科学出版社， 2021.7.

原标题：湖北大学数学与统计学学院2025年硕士研究生招生考试大纲

文章来源：http://mci.hubu.edu.cn/info/1061/11791.htm

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