上海工程技术大学2026年813高等代数考研大纲及参考书目

　　上海工程技术大学

　　硕士研究生入学考试《高等代数》初试考试大纲

　　考试科目：高等代数

　　考试代码：813

　　考试参考书目：同济大学数学系，《高等代数与解析几何》(第二版)，高等教育出版社，2022年

　　考试总分：150分

　　考试时间：3小时

　　一、考试目的与要求

　　《高等代数》考试大纲适用于统计学专业硕士研究生入学考试，其目的是考察考生对高等代数基本内容的理解、掌握和熟练应用程度。要求考生掌握本课程的基本概念、基本理论和基本方法，具有较强的抽象能力、逻辑推理能力、运算能力以及综合分析问题和解决问题的能力。

　　通过《高等代数》课程的学习和考试，要求考生：

　　1. 系统地掌握高等代数的基本概念、基本理论和基本方法，具备独立获取代数及相关知识的能力，为进一步学习专业课程打下坚实基础;

　　2. 系统地掌握高等代数的运算，并理解其蕴含的数学思想;

　　3. 具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和逻辑推理能力;

　　4. 能够将理论用于实践，联系实际分析问题，初步具备运用所学代数方法解决实际问题和专业问题的数学应用能力。

　　二、考试的基本内容与要求

　　第1章 一元多项式

　　一、一元多项式

　　理解多项式函数的定义及加、减、乘和带余除法;掌握多项式的整除及性质。

　　二、多项式的最高公因式

　　1. 理解最高公因式的定义和最高公因式计算，会用辗转相除法求最大公因式;

　　2. 掌握多项式的互素及其性质;理解不可约多项式，因式分解的唯一性。

　　本章复习重点：

　　l 掌握整除的概念、性质;掌握多项式的互素及其性质。

　　第3章 矩阵代数

　　一、矩阵及其运算

　　掌握矩阵的运算(加、数乘、相乘、转置、方阵的行列式)及其性质。

　　二、矩阵的分块与初等方阵

　　1. 理解分块矩阵、矩阵的初等变换、初等方阵、矩阵的阶梯阵、矩阵等价等概念;

　　2. 掌握利用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯阵的方法。

　　三、矩阵的逆

　　1. 理解方阵的逆阵;

　　2. 掌握用初等变换法求方阵逆矩阵。

　　四、线性方程组

　　掌握用初等行变换法解线性方程组。

　　本章复习重点：

　　l 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算律;

　　l 掌握矩阵可逆的定义、充分必要条件，熟练掌握矩阵求逆的初等变换法;

　　l 熟练掌握齐次、非齐次线性方程组求法(无解、有唯一解、有无穷多解)。

　　第4章 方阵的行列式

　　一、行列式的定义

　　理解n阶行列式的定义。

　　二、行列式的初等变换

　　1. 掌握行列式的行、列初等变换;

　　2. 理解方阵乘积的行列式，方阵转置的行列式的运算性质。

　　三、行列式展开

　　1. 掌握余子式，代数余子式的概念，掌握行列式按行(列)展开的计算方法;

　　2. 掌握n阶行列式计算。

　　四、用行列式求逆矩阵

　　1. 理解伴随矩阵;

　　2. 掌握方阵可逆充要条件，逆矩阵的公式。

　　本章复习重点：

　　l 熟练掌握运用行列式的性质、按行或列展开等方法，计算n阶行列式。

　　第5章 矩阵的秩与线性方程组

　　一、向量的线性相关性

　　1. 掌握n维向量运算(加、数乘)及其性质;

　　2. 掌握向量组的线性组合(表示)，向量组的线性相关与无关，向量组的线性相关性的一些基本定理;理解向量组的极大线性无关组;

　　3. 掌握向量组秩的定义。

　　二、矩阵的秩

　　熟练掌握用矩阵初等行变换求矩阵的秩和向量组秩及极大线性无关组。

　　三、线性方程组解的结构

　　1. 熟练掌握齐次线性方程组的基础解系，齐次线性方程组解的一般形式;

　　2. 熟练掌握非齐次线性方程组相容的条件，非齐次线性方程组解的一般形式。

　　本章复习重点：

　　l 掌握向量组的线性相关与无关的定义与判定;

　　l 掌握向量组的极大无关组和秩定义，熟练掌握向量组的极大无关组和秩的求法，以及将向量组的其他向量用极大无关组线性表示的方法;

　　l 熟练掌握(齐次、非齐次)线性方程组解的判别定理、解的性质、解的结构，熟练掌握求解线性方程组的基础解系和通解的方法。

　　第6章 线性空间

　　一、线性空间的定义与简单性质

　　1. 掌握线性空间的定义及其性质;熟练掌握线性空间的子空间判断方法;

　　2. 熟练掌握向量在一组基下的坐标，基与基之间的过渡矩阵，坐标变换。

　　二、子空间的直和

　　理解子空间的交，子空间的和;熟练掌握子空间的直和。

　　本章复习重点：

　　l 掌握过渡矩阵的定义，熟练掌握线性空间的基变换及其坐标变换公式。

　　第7章 线性变换与相似矩阵

　　一、特征值与特征向量

　　熟练掌握线性变换(矩阵)的特征值、特征向量、特征多项式的定义和性质。

　　二、可对角化和可对角化条件

　　熟练掌握线性变换可对角化(矩阵相似对角阵)的条件。

　　本章复习重点：

　　l 掌握特征值与特征向量的定义，熟练掌握特征值与特征向量的求法;

　　l 熟练掌握矩阵对角化的方法。

　　第9章 内积空间

　　一、内积空间定义与基本性质

　　掌握内积;掌握向量的正交与向量的长度。

　　二、标准正交基

　　1. 掌握标准正交基;

　　2. 掌握实对称矩阵正交相似标准形。

　　本章复习重点：

　　l 熟练掌握向量的长度、夹角，掌握向量组(矩阵)是否是标准正交向量组(正交矩阵)的判断方法;

　　l 熟练掌握施密特正交化方法，将实对称矩阵正交对角化。

　　第10章 双线性函数与二次型

　　一、二次型与二次型的标准形

　　掌握二次型及其矩阵表示;熟练掌握化二次型为标准形的计算方法。

　　本章复习重点：

　　l 熟练掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法。

　　三、考试题型

　　1. 单项选择题 (约30分)

　　2. 计算题 (约120分)

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