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重庆三峡学院2026年869高等代数考研大纲及参考书目

2025-09-23 08:48:00来源：网络

　　考试要求、主要内容：

　　要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，

　　掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻

　　辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题

　　的能力。

　　考试内容：

　　(一) 多项式

　　1. 一元多项式的整除、最大公因式、带余除法公式、互素、不

　　可约多项式、因式分解、重因式、根及重根、多项式函数的概念及

　　判别;

　　2. 辗转相除法求两个多项式的最大公因式;多项式有重因式的

　　判别方法，实数域、复数域上多项式因式分解定理，有理系数多项

　　式的全部有理根;

　　3. 一些重要定理的证明;运用多项式理论证明有关命题; 用

　　多项式函数方法证明有关结论。

　　(二) 行列式

　　1. n-级排列、对换、 n-级排列的逆序及逆序数和奇偶性;

　　2. n-阶行列式的定义，基本性质及常用计算方法;

　　3. 行列式的代数余子式，Vandermonde行列式;

　　4. Cramer 法则解决问题。

　　(三) 线性方程组

　　1. 向量组线性相(无)关的判别及相应齐次线性方程组有(无)

　　非零解的相关向量判别法、行列式判别法;

　　2. 向量组的极大线性无关组性质，向量组之间秩的大小关系定

　　理及其推论，向量组的秩的概念及计算，矩阵的行秩、列秩、秩概

　　念及其行列式判别法和计算;

　　3. 线性方程组有(无)解的判别定理，齐次线性方程组有(无)

　　非零解的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法;

　　4. 非齐次线性方程组的解法和解的结构定理。

　　(四) 矩阵理论

　　1. 矩阵基本运算、分块矩阵运算及常用分块方法并用于证明与

　　矩阵相关的结论;

　　2. 初等矩阵、初等变换及其与初等矩阵;

　　3. 矩阵的逆和矩阵的等价标准形，矩阵可逆的条件及其与矩阵

　　的秩和初等矩阵的关系，伴随矩阵概念及性质;

　　4. 行列式乘积定理;

　　5. 矩阵的迹、方阵的多项式;

　　6. 矩阵的常用分解，一些特殊矩阵的常用性质;

　　(五) 二次型理论

　　1. 二次型及其标准形、规范形，惯性定理及其应用;

　　2. 实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念

　　及判定条件和应用;

　　3. 实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征

　　值标准型的求法。

　　(六) 线性空间;

　　1. 线性空间、子空间的定义及性质;

　　2. 线性空间中一个向量组的秩及计算方法;

　　3. 线性(子)空间的基和维数，子空间的基扩充定理，生成子

　　空间;子空间的直和、维数公式;

　　4. 线性空间的同构;

　　5. 向量组线性相关或无关及子空间直和等相关结论的综合证

　　明。

　　(七)线性变换

　　1. 线性变换定义与运算及其矩阵表示;矩阵的特征多项式和最

　　小多项式及其有关性质;

　　2.线性变换及其对应矩阵的特征值和特征向量;

　　3.线性变换及其矩阵的线性无关特征向量的判别和最大个数

　　及特征子空间;线性变换和矩阵可对角化;

　　4.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，矩阵的对角化的判

　　定和计算;

　　5.矩阵相似的概念及同一个线性变换关于不同基的矩阵之间

　　的关系;Hamilton-Caylay定理;

　　6.线性变换的不变子空间、核、值域。

　　(八)λ-矩阵

　　1.λ-矩阵的初等变换、标准型、行列式因子、不变因子、初

　　等因子及三种因子之间的关系;

　　2.矩阵的Jordan标准形的存在唯一性定理的证明及其应用。

　　(九)欧氏空间

　　1.内积和欧氏空间的定义及简单性质;欧氏空间的度量矩阵的

　　概念及性质;

　　2.欧氏空间的标准正交基概念及其求法和性质的证明与应用;

　　3.子空间的正交以及正交补;

　　4.正交变换和正交矩阵，对称变换;线性无关向量组的施密特

　　(Schmidt)正交化方法。

　　5.实对称矩阵的正交相似对角化定理及其相应正交矩阵和对

　　角矩阵的求法;用求特征值方法化实二次型为标准形。

　　参考书目

　　[1]《高等代数(第五版)》，北京大学

　　数学系前代数小组编，高等教育出版社，

　　2019

　　[2]《高等代数(第五版)》，张禾瑞、

　　郝鈵新编，高等教育出版社，2007

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