黑龙江大学820高等代数2026年考研大纲及参考书目

　　黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲

　　考试科目名称：高等代数 考试科目代码：[820]

　　一、考试内容及要求

　　一、行列式

　　1.内容：行列式概念及性质，行列式按行(列)展开。

　　2.要求：

　　①理解数域的概念，掌握常见的数域和最小数域。

　　②理解n阶行列式的定义，掌握行列式性质。

　　③能用行列式定义、性质(包括按行(列)展开的性质)递推及归纳法等计算行列式。

　　二、矩阵

　　1.内容：矩阵的概念，矩阵运算，逆矩阵和克莱姆法则，分块矩阵，初等变换和初等阵，矩阵的等价分解，矩阵的秩，初等块矩阵及等价分解的应用。

　　2.要求：

　　①理解矩阵概念及相关运算法则，能熟练地进行矩阵的相关运算，掌握行列式乘法定理。

　　②理解逆矩阵的概念，掌握伴随矩阵求逆方法，掌握矩阵可逆充要条件并用于判别，理解克莱姆法则并用于求解线性方程组。

　　③了解分块矩阵的运算法则，准确用于计算。

　　④理解三种初等变换及相应的初等阵，了解初等阵是可逆阵的乘法生成元。

　　⑤理解矩阵的等价分解，理解矩阵秩的定义，能用初等变换求矩阵秩及逆矩阵。

　　⑥能利用等价分解、分块矩阵、初等矩阵及归纳法等解决一些矩阵分解，求秩相关的计算和证明问题。

　　三、n维向量与线性方程组

　　1.内容：n维向量，向量的线性相关性，向量组的秩，消去法解线性方程组，线性方程组解的判定，线性方程组解的结构。

　　2.要求：

　　①掌握n维向量线性表出，线性相关，线性无关的概念，能进行判别及相关的证明。

　　②理解向量组的秩，矩阵的三秩相等定理，掌握向量组的秩以及极大无关组的概念，会求极大无关组以及向量组的秩。

　　③能用消去法解线性方程组，特别能对带参数的方程组进行解的情况的讨论。

　　④掌握齐次方程组基础解系定理，一般线性方程组解的结构定理，并能用于解决有关问题。

　　四、特征值与特征向量

　　1.内容：特征值与特征向量，相似矩阵，Rn空间内积，正交阵，实对称阵的正交对角化。

　　2.要求：

　　①掌握特征值与特征向量的概念及求法。

　　②理解矩阵相似的概念，理解矩阵相似于对角阵的充要条件及充分条件，会进行相关的计算和证明。

　　③掌握施密特正交化方法并能用于将实对称阵正交对角化。

　　④理解正交阵的概念及等价条件，利用实对称阵正交对角化定理解决一些论证问题。

　　五、二次型

　　1.内容：实二次型，正定二次型，半正定二次型，惯性定理，一般数域上的二次型。

　　2.要求：

　　①掌握一般二次型的概念，用矩阵和内积分别表示二次型的方法。

　　②理解实二次型的惯性定理，掌握实数域及一般数域上二次型的标准形及其求法。

　　③理解正定二次型，半正定二次型的概念及若干等价条件并能用于相关计算与证明。

　　六、多项式

　　1.内容：一元多项式，整除，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数及实系数多项式因式分解，有理系数多项式。

　　2.要求：

　　①掌握数域上一元多项式的概念及相关运算(包括带余除法)。

　　②理解多项式整除及最大公因式等概念，会用辗转相除法求最大公因式。

　　③理解因式分解定理及其唯一性的含义，掌握有重因式的充要条件，并能用于判别。

　　④理解多项式恒等与多项式函数相等的关系，能利用恒等或判别恒等解决相关问题。

　　⑤掌握整系数多项式的有理根判别法以及关于不可约的Eisenstein判别法解决某些问题。

　　⑥了解复系数多项式的代数基本定理，理解实系数多项式的虚根成对定理，并能用于简单证明。

　　七、线性空间

　　1.内容：线性空间定义及简单性质，维数，基底与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

　　2.要求：

　　①理解线性空间的公理化定义，掌握其简单性质。

　　②掌握线性空间维数，基底，坐标等概念，掌握基变换及坐标变换公式进行有关计算。

　　③掌握线性子空间，交子空间，和子空间的概念及交与和的维数公式。

　　④理解子空间直和的概念，掌握直和的几个充要条件并能用于相关证明和计算。

　　⑤理解线性空间的同构概念，掌握有限维线性空间同构的条件。

　　八、线性变换

　　1.内容：线性变换及其运算，线性变换的矩阵，哈密顿-凯莱定理，线性变换的值域与核，不变子空间，若当标准形介绍，最小多项式，矩阵相似与λ-矩阵。

　　2.要求：

　　①掌握线性变换概念并能用于判别，理解线性变换的加法，数乘，乘法运算。

　　②掌握线性变换的矩阵表示及其求法，了解哈密顿-凯莱定理。

　　③理解线性变换的值域与核的概念，并了解其与线性方程组基础解系定理之间关系。

　　④理解线性变换不变子空间的概念，掌握空间分解为不变子空间直和与矩阵相似于准对角阵之关系。

　　⑤了解复矩阵若当标准形的结构，能用λ-矩阵方法求一个复矩阵的若当标准形。

　　⑥了解最小多项式的概念，会求简单阵的最小多项式。

　　⑦了解用λ-矩阵表述的矩阵相似的几个充要条件。

　　九、欧氏空间

　　1.内容：欧氏空间定义及其基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称变换，最小二乘法，酉空间。

　　2.要求：

　　①掌握抽象欧氏空间的定义及其基本性质。

　　②理解标准正交基及欧氏空间同构的概念，会求一个欧氏空间的标准正交基。

　　③掌握有限维欧氏空间的正交变换的定义及其等价条件并能用于证明。

　　④理解欧氏空间子空间及其正交补的概念，会进行相关计算与证明。

　　⑤了解对称变换及其矩阵表示，了解最小二乘法的思想。

　　⑥了解酉空间的概念及与欧氏空间相平行的结论。

　　二、试卷结构

　　1.考试时间：180分钟

　　2.试卷分值：150分

　　3.题型结构：(1)多项选择与填空(约占20-30分)

　　(2)计算题(约占50-60分)

　　(3)证明题(约占60-70分)

　　三、参考书目

　　1.曹重光, 线性代数, 内蒙古科学技术出版社, 1999.

　　2.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组, 高等代数(第三版), 高等教育出版社, 2003.

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