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南京工业大学601数学分析2026年考研大纲及参考书目

2025-10-12 16:50:00来源：网络

　　数学分析考试大纲

　　一、考试的基本要求

　　要求考生系统地掌握实数理论，极限理论，一元函数的微积分学，

　　多元函数的微积分学和级数理论等基本内容，理解相关概念和理论的

　　背景、几何和(或)物理意义，具备数学语言表达能力、严谨的逻辑推

　　理能力和计算能力，能够用数学分析理论分析和解决实际问题，具备

　　一定的科研能力和自主学习能力。

　　二、考试方式和考试时间

　　闭卷考试;总分150分;考试时间为3小时。不允许使用计算器。

　　三、考试内容

　　极限理论、一元函数的微积分学、多元函数的微积分学、级数理

　　论。

　　四、试题类型：

　　主要包括计算题、证明题、综合分析题等类型。

　　五、考试内容及要求

　　第一部分 极限理论

　　1. 掌握实数集的概念及其性质、函数的概念及其性质、基本初等函

　　数的类型及其性质，确界定义与确界原理。

　　2. 理解数列极限、函数极限的概念，能够运用 , ,语言解

　　决极限问题，掌握收敛数列的性质和数列极限的存在条件，以及

　　函数极限的性质和存在条件，灵活运用两个重要极限计算极限。

　　3. 理解无穷小量和无穷大量的概念、性质和关系，掌握无穷小量阶

　　的比较方法。

　　4. 掌握一元函数连续性、间断点及其分类，以及连续函数的局部性

　　1

　　质和单侧连续，掌握闭区间上连续函数的性质，了解初等函数、

　　复合函数、反函数的连续性及一致连续的概念。

　　5. 掌握实数完备性定理(确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、

　　聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则)。

　　6. 理解平面点集、二重极限、累次极限和连续性，掌握欧氏空间上

　　的基本定理和多元连续函数的性质，理解二重极限与特殊路径极

　　限的关系。

　　第二部分 一元函数的微积分学

　　1. 理解导数与微分概念及其几何意义，熟练运用导数的运算性质和

　　求导法则计算导数。

　　2. 理解单侧导数、可导性与连续性的关系，掌握高阶导数的求法，

　　以及导数的几何应用和微分在近似计算中的应用。

　　3. 熟练掌握中值定理的内容、证明及其应用，掌握函数Taylor展开

　　及其在近似计算中的应用。

　　4. 熟练掌握洛必达法则和函数基本特性判定方法。

　　7. 理解不定积分的概念，熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理

　　式积分法和三角有理式积分法。

　　8. 理解函数可积条件，掌握定积分的基本性质和积分学基本定理等

　　相关内容。

　　9. 掌握定积分的几何应用以及在物理上的应用，掌握 “微元法”。

　　10. 掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等，熟练掌握

　　两类反常积分的比较判别法、Abel判别法和Dirichlet判别法。

　　第三部分 多元函数的微积分学

　　1. 掌握含参变量定积分的概念与性质，理解含参变量广义积分的收

　　敛与一致收敛的概念，掌握含参变量广义积分一致收敛的判别法和性

　　质。

　　2. 掌握多元函数偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数、极值等

　　概念，理解全微分、偏导数、连续之间的关系，掌握多元函数极值的

　　求法。

　　3. 理解隐函数的存在定理，掌握隐函数的偏导、曲线的切线、法平

　　2

　　面方程的计算，熟练掌握条件极值求法。

　　4. 掌握二重积分、三重积分的性质和计算，及其在求面积、体积、

　　质量等方面的应用。

　　5. 掌握第一型曲线积分与第二型曲线积分的概念、几何和物理意义、

　　性质及计算，熟练掌握Green公式应用。

　　6. 掌握第一型曲面积分与第二型曲面积分的概念、几何和物理意义、

　　性质和计算，熟练掌握 Gauss 公式、Stokes 公式及其应用。

　　7. 了解场论中梯度、散度、环量和旋度等概念。

　　第四部分 级数理论

　　1. 理解数项级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念，掌握

　　收敛级数的性质，掌握正项级数与任意项级数的敛散性判别法。

　　2. 掌握函数项级数与函数序列的收敛、一致收敛概念，熟练掌握极

　　限函数及和函数的性质，掌握函数项级数(序列)的一致收敛性判别。

　　3. 理解幂级数、函数的幂级数的概念，掌握幂级数的性质，熟练掌

　　握幂级数收敛半径与收敛域求法以及函数的幂级数展开方法。

　　4. 理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数展开，掌握Fourier

　　级数收敛性判别法，熟练掌握函数展开成Fourier级数的方法。

　　六、参考书目(仅供参考)

　　[1] 华东师范大学数学科学学院编, 数学分析(第五版)(上、下册),

　　高等教育出版社,2023.

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