2027MPAcc知识点讲解：概率练习

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　　1、 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。(0.2)

　　【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品，即一件为合格品，一件为不合格品(2)为合格品，即两件都是合格品.对于(1)，C(1，4)*(1，6)/C(2，10)=8/15;对于(2)，C(2，4)/C(2，10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下，(1)的概率，则(2/15)/(8/15 2/15)=1/5

　　2、 设A是3阶矩阵，b1，b2，b3是线性无关的3维向量组，已知Ab1=b1 b2， Ab2=-b1 2b2-b3， Ab3=b2-3b3， 求 |A| (答案：|A|=-8)

　　【思路】A= (等式两边求行列式的值，因为b1，b2，b3线性无关，所以其行列式的值不为零，等式两边正好约去，得-8)

　　3、 某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先

　　预言结果，10次中他说对7次 ，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测， 则他作出这样好的答案的概率是多少?答案为11/64。

　　【思路】原题说他是好的答案，即包括了7次，8次，9次，10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7x0.5^3 ......C(10 10)0.5^10， 即为11/64.

　　4、 成等比数列三个数的和为正常数K，求这三个数乘积的最小值

　　【思路】a/q a a*q=k(k为正整数)

　　由此求得a=k/(1/q 1 q)

　　所求式=a^3，求最小值可见简化为求a的最小值.

　　对a求导，的驻点为q= 1，q=-1.

　　其中q=-1时a取极小值-k，从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)

　　5、 掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。

　　【思路】可以有两种方法：

　　1.用古典概型 样本点数为C(3，5)，样本总数为C(2，5)C(3，5)C(4，5)C(5，5)(也就是说正面朝上为2，3，4，5个)，相除就可以了;

　　2.用条件概率 在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16，P(AB)的概率为5/16，得5/13

　　假设事件A：至少出现两个正面;B：恰好出现三个正面。

　　A和B满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2

　　P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16

　　A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16

　　所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。

　　1、 国家羽毛球队的3名男队员和3名女队员，要组成3个队，参加世界杯的混合双打比赛，则不同的组队方案为?

　　【思路1】c(3,1)*c(3,1)*c(2,1)c(2,1)=36

　　已经是看成了三个不同的队。

　　若三个队无区别，再除以3!，既等于6。

　　【思路2】只要将3个GG看成是3个箩筐,而将3个MM看成是3个臭鸡蛋,每个箩筐放1个,不同的放法当然就是3!=6

　　(把任意三个固定不动，另外三个做全排列就可以了)

　　2、 假定在国际市场上对我国某种出口商品需求量X(吨)服从(2000，4000)的均匀分布。假设每出售一吨国家可挣3万元，但若卖不出去而囤积于仓库每吨损失一万元，问国家应组织多少货源使受益最大?

　　【思路】设需应组织a吨货源使受益最大

　　4000≥X≥a≥2000时，收益函数f(x)=3a,

　　2000≤X

　　X的分布率：

　　2000≤x≤4000时，P(x)= ，

　　其他， P(x)=0

　　E(X)=∫(-∞， ∞)f(x)P(x)dx=

　　[ ]

　　= [-(a-3500) 2 8250000]

　　即a=3500时收益最大。最大收益为8250万。

　　3、 将7个白球，3个红球随机均分给5个人，则3个红球被不同人得到的概率是( )

　　(A)1/4 (B)1/3 (C)2/3 (D)3/4

　　【思路】注意“均分”二字，按不全相异排列解决

　　分子=C(5，3)*3!*7!/2!2!

　　分母=10!/2!2!2!2!2!

　　P= 2/3

　　4、 一列客车和一列货车在平行的铁轨上同向匀速行驶。客车长200 m，货车长280 m，货车速度是客车速度的3/5，后出发的客车超越货车的错车时 间是1分钟，那么两车相向而行时错车时 间将缩短为( )(奇迹300分，56页第10题)

　　A、1/2分钟 B、16/65分钟 C、1/8分钟 D、2/5分钟

　　【思路】书上答案是B，好多人说是错的，应该是1/4，还有一种观点如下：

　　用相对距离算，

　　设同向时的错车距离为s，设客车速度为v，

　　则货车速度为3v/5同向时相对速度为2v/5，

　　则1分钟=s/(2v/5)，得v=5s/2因为200相向时相对速度是8 v/5，

　　相对距离为480

　　此时错车时 间=480/(8v/5)=120/s

　　因而结果应该是 [1/4，3/5 )之间的一个值，

　　答案中只有D合适

　　(注：目前关于此题的讨论并未有太令人满意的结果!)

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　　5、 一条铁路有m个车站，现增加了n个，此时的车票种类增加了58种，(甲到乙和乙到甲为两种)，原有多少车站?(答案是14)

　　【思路1】设增加后的车站数为T，增加车站数为N

　　则：T(T-1)-(T-N)(T-1-N)=58

　　解得：N2 (1-2T)N 58=0 (1)

　　由于(1)只能有整数解，因此N1=2 T1=16;N2=29 T2=16(不符合，舍去)

　　所以原有车站数量为T-N=16-2=14。

　　【思路2】原有车票种数=P(m，2)，增加n个车站后，共有车票种数P(m n，2)，增加的车票种数=n(n 2m-1)=58=1*58=2*29，因为n1，所以只能n=2，这样可求出m=14

　　1、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，要求其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()

　　(A)140种

　　(B)80种

　　(C)70种

　　(D)35种

　　(E)以上结论均不正确

　　【解题思路】分类完成：

　　第1类取出1台甲型和2台乙型电视机，有种方法;

　　第2类取出2台甲型和1台乙型电视机，有种方法，

　　由加法原理，符合题意的取法共有种方法。

　　【参考答案】(C)

　　2、由0、1、2、3、4、5这6个数字组成的六位数中，个位数字小于十位数字的有()

　　(A)210个

　　(B)300个

　　(C)464个

　　(D)600个

　　(E)610个

　　【解题思路】由0、1、2、3、4、5这6个数字组成的六位数共有个，其中个位数字小于十位数字的占一半，所以符合题意的六位数有(个)。

　　【参考答案】(B)

　　3、设有编号为1、2、3、4、5的5个小球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个小球放入这5个盒子内，要求每个盒子内放入一个球，且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为()

　　(A)20种

　　(B)30种

　　(C)60种

　　(D)120种

　　(E)130种

　　【解题思路】分两步完成：

　　第1步选出两个小球放入与它们具有相同编号的盒子内，有种方法;

　　第2步将其余小球放入与它们的编号都不相同的盒子内，有2种方法，

　　由乘法原理，所求方法数为种。

　　【参考答案】(A)

　　4、有3名毕业生被分配到4个部门工作，若其中有一个部门分配到2名毕业生，则不同的分配方案共有()

　　(A)40种

　　(B)48种

　　(C)36种

　　(D)42种

　　(E)50种

　　【解题思路】分步完成：

　　第1步选出分到一个部门的2名毕业生，有种选法;

　　第2步分配到4个部门中的2个部门，有种分法，

　　由乘法原理，所求不同的分配方案为(种)。

　　【参考答案】(C)

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