2027心理学考研知识点讲解：推断统计的数学基础

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　　概率

　　1. 推断统计：从样本出发来推断总体分布。推断统计是统计分析的核心。 2. 概率：又称或然性、几率，是表明随机事件出现可能性的客观指标。 3. 后验概率、先验概率： (1)后验概率：又称统计概率，对随机事件进行多次观测时，当观测次数趋于无穷，某一事件出现的次数和观测次数的比值趋于一个恒定值。 (2)先验概率：又称古典概率，当观测的每一种可能结果是已知有限的，而且出现的可能性相等，可以直接得到真实概率而不是估计值。 4. 当观测次数足够多，后验概率会趋于先验概率 5. 概率的基本性质： (1)公理1：任何一个随机事件A的概率都是非负的。 (2)公理2：在一定条件下必然发生的事件，即必然事件的概率为1。 (3)公理3：在一定条件下必然不发生的事件，即不可能事件的概率为0。 (4)0 ≤ P(A) ≤ 1 (5)加法定理：两个互不相容事件A. B之和的概率，等于两个互不相容事件概率之和。P(A + B) = P(A) + P(B) (6)乘法定理：两个独立事件同时发生的概率，等于两个独立事件各自发生概率的乘积。P(A•B) = P(A)•P(B) 6. 概率分布：对随机变量取值的概率情况用数学函数进行描述。 7. 离散分布：随机变量只取孤立的数值。二项分布、泊松分布、超几何分布等。 8. 连续分布：随机变量是连续范围中的数值。正态分布、指数分布、威布尔分布等。 9. 经验分布：根据观测获得的数据得出的次数分布或相对频率分布。 10. 理论分布：数学模型或通过数学模型计算出的总体次数分布。 11. 基本随机变量分布：二项分布、正态分布。 12. 抽样分布：样本统计量的理论分布。

　　正态分布

　　1. 正态分布：又称高斯分布、常态分布、常态分配。 2. 正态分布函数曲线 3. 正态分布函数公式 4. 特点： (1)钟型对称曲线，对称轴是平均数，拐点在1个标准差处; (2)两端无限延伸下降，但永不与横轴相交; (3)曲线下面积为1; 5. 标准正态分布：μ = 0，σ2 = 1 6. 几个重要的Z值：Z0.05/2 = 1.96，Z0.01/2 = 2.58，Z0.05 = 1.65，Z0.01 = 2.33 7. 正态分布应用： (1)化等级评定为测量数据 (2)确定测验题目的难易度 (3)能力分组或等级评定时确定人数 (4)测验分数的正态化

　　二项分布

　　1. 二项分布：又称伯努利分布，实验仅有两种不同性质结果的概率分布。 2. 定义：设有n次实验，各实验相互独立，每次实验某事件发生概率为p，不发生概率为q(1 - p)，则某事件发生X次的概率分布为b(x, n, p) 3. 二项分布公式 4. 二项分布性质： (1)p = q时，分布对称 (2)p ≠ q时，分布偏态，但是随着n的增大，偏态逐渐降低。当p < q且np ≥ 5时，二项分布接近正态分布 5. 二项分布的平均数、标准差公式 6. 注意：正态分布中X 的值是一段, 而并非一点, 所以当二项分布近似为正态分布时，需要考虑精确上下限。因为我们是在用连续型分布 (正态) 来估计离散型分布的值。 7. 二项分布应用：解决猜测导致的机遇问题

　　t分布

　　1. t分布：又称学生氏分布 2. 特点： (1)左右对称，峰态比较高狭 (2)均值为0，方差大于1 (3)样本容量趋于无穷时，t分布为标准正态分布(均值为0，方差为1) (4)t0.05/2(30) = 2.042，Z0.05/2 = 1.96 (5)总体分布为正态，标准差σ未知，样本平均数分布为t分布。 (6)总体分布非正态，标准差σ未知，当样本足够大(n ≥ 30)，样本平均数分布接近t分布。 (7)样本平均数分布的平均数 = μ 样本平均数分布的标准误为，注：s为样本标准差，自由度为n-1

　　F分布

　　1. χ2分布：正态总体中，随机抽取n个Xi，它们的平方和的分布即为χ2分布。 2. 总体χ2： ; 样本χ2： 3. 特点： (1)正偏态，没有负值 (2)具有可加性，χ2分布的和也是χ2分布，自由度为各自由度之和。 (3)df增加，峰态平缓，自由度趋于无穷时，χ2分布为正态分布 4. 应用：样本方差和总体方差差异是否显著，顺序型、命名型变量的显著型检验，两个顺序型、命名型变量的相关检验。 5. F分布 (1)F分布：两个正态总体，每个样本中随机抽取容量为n1、n2的样本，每个样本都可以得到相应的χ2和df，每个χ2除以对应的df后的比值，就是F值。 (2)F分布的曲线 (3)特点：正偏态，没有负值 df1，df2增加，F分布趋于正态分布 分子自由度为1时，F值等于与分母自由度相同的t值的平方 F0.05(1，20) = 4.35 = t0.05/2(20)2 6. 应用：检验两个样本方差的显著性

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