2022南京信息工程大学自命题考研大纲：020-856数学学科基础

　　南京信息工程大学硕士研究生招生入学考试

　　考试大纲

　　科目代码：856

　　科目名称：数学学科基础

　　第一部分 目标与基本要求

　　数学学科基础是教育硕士(数学方向)入学考试科目之一，是由教育部授权各教育硕士培养院校自行命题的选拔性考试。本考试大纲的制定力求反映教育硕士(数学方向)专业学位的特点，科学、公平、准确、规范地测评考生的对数学学科相关基本理论和基础知识的系统掌握情况，以及运用数学基本理论和知识解决实际问题的意识和能力。

　　第二部分 数学分析和高等代数内容与考核目标

　　数学分析：

　　(一) 极限论

　　1、透彻理解和掌握数列极限，函数极限的概念。掌握并能运用 ε-N，ε-X，ε-δ 语言处理极限问题。

　　2、掌握收敛数列的性质及运算。掌握数列极限的存在条件(单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则);掌握函数极限的性质和归结原则;熟练掌握利用两个重要极限处理极限问题。

　　3、理解无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系，掌握无穷小量阶的比较和方法。

　　4、理解与掌握一元函数连续性的定义(点，区间)，间断点及其分类，连续函数的局部性质;理解单侧连续的概念。

　　5、掌握和应用闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性);掌握初等函数的连续性，理解复合函数的连续性，反函数的连续性。

　　6、掌握实数连续性定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理。

　　7、理解平面点集的基本概念，二元函数的极限，累次极限，连续性概念;了解闭区间的套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。

　　(二) 微分学

　　1、理解和掌握导数与微分概念及其几何意义;能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)。

　　2、理解单侧导数、可导性与连续性的关系;掌握高阶导数的求法，导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。

　　3、熟练掌握中值定理的内容、证明及其应用;熟练掌握泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开。

　　4、能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限;掌握函数的某些基本特性(单调性、极值与最值、 凹凸性、拐点及渐近线)，能较正确地作出某些函数的图象。

　　5、掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数、极值等概念;搞清全微分、偏导数、连续之间的关系;掌握多元函数泰勒公式;会求多元函数的极值。

　　6、掌握隐函数的概念及隐函数的存在性定理;会求隐函数的导数;会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程;掌握条件极值概念及求法。

　　(三) 积分学

　　1、掌握原函数和不定积分概念;熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有理式积分法，并能利用它们来求函数的积分;会计算简单的无理函数的积分。

　　2、掌握定积分概念及函数可积的条件;熟悉一些可积分函数类;掌握定积分与可变上限积分的性质;能熟练地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。

　　3、掌握定积分的几何应用;掌握定积分在物理上的应用;掌握"微元法"。

　　4、掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;.能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。

　　5、掌握含参变量定积分的概念与性质;掌握含参变量广义积分的收敛与一致收敛的概念;掌握含参变量广义积分一致收敛的判别法。

　　6、掌握两类曲线积分的概念及计算;掌握两类曲线积分的性质;掌握两类曲线积分的关系;掌握格林公式的某些应用;会计算曲线积分。

　　7、掌握二重、三重积分的概念、性质;会计算重积分;会求图形的面积，体积及物体的质量与重心。

　　8、掌握两类曲面积分的概念及计算;掌握两类曲面积分的性质;掌握两类曲面积分的关系;会计算曲面积分。

　　9、掌握 Gauss 公式、Stokes 公式及其应用。

　　(四)级数论

　　1、理解无穷级数的收敛，发散，绝对收敛与条件收敛等概念;掌握收敛级数的性质;能熟练应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的(绝对)敛散性;熟悉几何级数、调和级数与 p 级数。

　　2、掌握收敛域、极限函数与和函数、函数项级数与函数列的一致收敛等概念;掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明);能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。

　　3、掌握幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念;掌握幂级数的性质;会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域;会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式。

　　4、掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念;能正确地叙述傅里叶级数收敛性判别法;能将一些函数展开成傅里叶级数。

　　高等代数：

　　1、 线性方程组

　　掌握求解线性方程组的 Guass 消元法，有解判定准则和解的结构定理;熟练掌握行列式性质与运算, 用行列式解线性方程组的方法, 初等变换的性质,运算以及在求秩、逆矩阵及解线性方程组等方面的应用。熟练掌握线性方程组的秩, 齐次线性方程组的解空间维数, 非齐次线性方程组的一 般解之间的关系,性质及求法.

　　2、 矩阵运算

　　了解矩阵及其运算以及和数域F 上向量空间F^n 上的线性映射的关系;熟练掌握矩阵的计算方法和基本性质及计算技巧, 矩阵的秩与线性方程组的秩的关系, 矩阵法解线性方程组的技巧;初等矩阵与初等变换的关系及运用技巧,学会线性方程组问题和矩阵问题的对应关系。熟练掌握矩阵的等价、相似、合同的概念和性质，以及与线性方程组、线性变换、二次型的关系，会利用它们解决相关问题。

　　3、线性空间基本理论

　　熟练掌握线性空间、线性映射的基本概念和理论，如向量的线性相关与线性无关及其性质、判断条件，向量组的秩相关性质及其灵活运用，子空间、不变子空间和直和的定义与性质，空间的同态、同构、向量的坐标及其在线性映射的性质。掌握空间的分解和分块阵的关系，线性空间在解线性方程组中的应用。

　　4、线性变换的基本性质和理论

　　熟练掌握线性变换的运算性质及特征值、特征向量和特征多项式的定义和计算，线性变换与矩阵的关系，矩阵相似的概念和判定方法，Jordan 标准形的计算应用，矩阵对角化的条件和判定方法; 掌握线性变换的像与核的概念、性质，维数定理及其应用。

　　5、欧几里得空间基本理论

　　掌握欧几里得空间的基本性质，正交基和 Schmidt 正交化方法以及实对称矩阵的基本性质，正交变换的性质及应用，掌握将实对称矩阵通过正交变换化成对角阵的方法;学会将线性方程组问题，矩阵问题，线性变换问题的相互转化，“几何地”思考理解线性代数问题。

　　6、对称矩阵和二次型理论

　　掌握二次型的基本理论及与矩阵理论的对应关系，掌握正定二次型的性质和应用及将实二次型化成标准型的方法，以及相应的矩阵合同、正定矩阵、对称方阵的性质和运用。

　　第三部分 有关说明与实施要求

　　1、命题说明：数学分析约占60%，高等代数约占40%。

　　2、参考书目：《数学分析》(第五版)，华东师范大学，高等教育出版社，2019年版;

　　《高等代数》(第五版)，北京大学，高等教育出版社，2019年版。

　　3、其他规定：考试方式为闭卷笔试，总分150分，考试时间为180分钟。