应用统计硕士概率论公式：随机事件和概率

（1）排列组合公式

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。

一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率： ，

（7）概率的公理化定义

设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件 的概率。

（8）古典概型

1° ，

2° 。

设任一事件 ，它是由 组成的，则有

P(A)= =

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，

。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=Ω时，P( )=1- P(B)

（12）条件概率

定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)

（13）乘法公式

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有

… …… … 。

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。

若事件 、 相互独立，且 ，则有

若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。

必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件 满足

1° 两两互不相容， ，

2° ，

则有

。

（16）贝叶斯公式

设事件 ， ，…， 及 满足

1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，

2° ， ，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了 次试验，且满足

u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；

u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；

u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。

用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率，

， 。