河南工业大学617数学分析2026年考研大纲及参考书目

　　河南工业大学

　　硕士研究生入学考试大纲

　　科目名称： 数学分析

　　科目代码： 617

　　《数学分析》考试概要

　　一、考试要求和知识点

　　(一)考试要求

　　第一章 实数集与函数

　　(1)掌握实数的有序性、稠密性、阿基米德性等性质，掌握实数的基本概念和最常见的

　　不等式，实数的四则运算和绝对值的不等式。

　　【专业课必备：2026考研自命题考试大纲】

　　(2)掌握实数的区间与邻域，集合的有界性的概念，初步理解上下确界的定义及确界原

　　理的实质，分清最大值与上确界的联系与区别，结合具体集合，能用定义给出并证明集合的

　　上(下)确界。

　　(3)掌握函数概念和函数的不同的表示方法。

　　(4)理解和掌握函数的概念和有界性、单调性、奇偶性和周期性等性质，了解四则运算，

　　复合函数，反函数的定义。

　　(5)掌握初等函数的性质，了解几个常见非初等函数(比如狄利克莱函数、黎曼函数等)

　　的定义及性质。

　　(二) 知识点

　　实数的区间与邻域，集合的上下界、上确界和下确界，确界原理，函数的定义与表示法，

　　复合函数与反函数，初等函数，有界函数、单调函数、奇函数、偶函数和周期函数的概念和

　　性质等。

　　(一)考试要求

　　第二章 数列极限

　　(1)理解和掌握数列极限的严格定义，学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特

　　殊技巧。

　　(2)掌握数列极限的主要性质，会运用四则运算定理、两边夹定理计算极限，能用海因

　　定理证明极限不存在。

　　(3)理解数列极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性，四则运算法则，

　　并会用其中某些性质计算具体的数列的极限，掌握这些性质的证明方法，以及证明抽象形式

　　数列极限的方法。

　　(4)掌握单调有界定理，会用单调有界定理证明数列极限的存在性。

　　(6)理解柯西收敛准则的直观意义，会用柯西收敛准则判别抽象数列(极限)的敛散性。

　　(二) 知识点

　　数列极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性，四则运算法则和数列的子

　　列及有关子列的定理，单调有界定理，柯西收敛准则等。

　　第三章 函数极限

　　(一)考试要求

　　(1)理解和掌握函数极限的严格、左右极限的定义，极限与左右极限的关系，能够用分

　　析定义证明和计算函数的极限。

　　(2)掌握函数极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性，四则运算法则，

　　并会用这些性质计算函数的极限，理解函数极限的局部性质。

　　(3)理解和掌握函数极限的柯西准则、归结原理和函数极限的单调有界定理，能够写出

　　函数各种极限的归结原理和柯西准则。

　　(4)掌握两个重要极限及其证明，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限。

　　(5)掌握无穷小量与无穷大量以其阶数的概念，能够写出无穷小量与无穷大量的分析定

　　义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量。

　　(二) 知识点

　　函数各种极限的分析定义，函数极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性，

　　四则运算法则，函数极限的归结原理、单调有界定理、柯西准则，两个重要极限，无穷小量

　　与无穷大量、高阶无穷小、同阶无穷小、等阶无穷小、无穷大等。

　　第四章 函数的连续性

　　(一)考试要求

　　(1)掌握函数连续性概念其性质。

　　(2)掌握可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点的概念，区间上的连续函数的定义，

　　能够求出函数的间断点并给出分类，讨论黎曼函数的连续性。

　　(3)掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质。

　　(4)掌握区间上函数的一致连续的概念及性质，能够分析证明函数的一致连续性和非一

　　致连续。

　　(5)掌握初等函数的连续性，掌握指数函数的严格定义。

　　(二) 知识点

　　函数连续，函数左右连续，区间上函数连续，间断点及其分类，连续函数的局部保号性，

　　局部有界性，四则运算;闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理;

　　反函数的连续性，一致连续性，指数函数的定义，初等函数的连续性等。

　　第五章 导数和微分

　　(一)考试要求

　　(1)理解导数的定义及其几何、物理意义，掌握可导与连续的关系。

　　(2)掌握函数在一点处的导数是差商的极限，了解导数的几何意义，理解费马定理，理

　　解达布定理。

　　(3)熟练掌握求导运算的四则运算法则，熟练掌握复合函数求导法则及初等函数求导法

　　则和基本初等函数的求导公式，会求平面曲线的切线方程和法线方程。

　　(3)掌握参变量函数的导数的求导法则。

　　(4)掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式，能够计算给定函数的高阶

　　导数，掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式。

　　(5)掌握微分的概念和运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用，一阶微分

　　形式的不变性，掌握高阶微分的概念。

　　(二)知识点

　　函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数，导数的四则运算，反函

　　数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式，参变量函数的导数的求导法则，高阶

　　导数，求高阶导数的莱布尼茨公式，微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似

　　计算中的应用等。

　　(一)考试要求

　　第六章 微分中值定理及其应用

　　(1)熟练掌握微分学中值定理，掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理

　　的条件，结论和证明方法，会用导数判别函数的单调性，能用中值定理解决一些证明问题。

　　(2)掌握洛比达法则求极限的方法和适用条件，能够利用洛必达法则求各种不定式极限。

　　(3)理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，会用泰勒公式求

　　极限和求常见函数的近似值，熟记六个常见函数的麦克劳林公式，用泰勒公式计算某些极限。

　　(4)掌握函数的极值与最大(小)值的概念，掌握求函数极值的第一、二充分条件，会求

　　闭区间上连续函数的最值及其应用，理解求函数极值的第三充分条件。

　　(5)掌握函数凸性与拐点的概念，能够求一般的函数的单调区间、极值、最值、凹凸性、

　　拐点及渐近线，应用函数的凸性证明不等式、詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的

　　存在与连续的关系。

　　(6)掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘，能描绘参数形式的函数图象。

　　(二)知识点

　　罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛必达法则的使用，佩亚诺余项和

　　带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用，函数的极值与最值，

　　函数的凸性与拐点，作函数图象等。

　　第七章 实数的完备性

　　(一)考试要求

　　(1)理解区间套定理，掌握和运用聚点定理，致密性定理，有限覆盖定理的条件和结论

　　以及证明和运用，理解这些定理的含意及关系，了解各定理的证明思路。

　　(2)理解闭区间上连续函数性质的证明思路和方法，能够用有限覆盖定理或用致密性定

　　理证明闭区间上连续函数的有界性，用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定

　　理，用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理，用有限覆盖定理证明闭区间上的连续

　　函数的一致连续性。

　　(二)知识点

　　区间套定理、柯西判别准则的证明，聚点定理，有限覆盖定理，闭区间上的连续函数有

　　界性的证明，闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明，闭区间上的连续函数介值定理

　　的证明，闭区间上的连续函数一致连续性的证明等。

　　第八章 不定积分

　　(一)考试要求

　　(1)熟练掌握原函数，不定积分的概念、性质和基本积分公式。

　　(2)熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法。

　　(3)掌握有理函数、可化为有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分，某些无

　　理根式的不定积分的计算方法和技巧。

　　(二)知识点

　　原函数的概念，基本积分公式，不定积分的几何意义，基本积分公式及线性运算法则，

　　第一、二换元积分法与分部积分法，有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某

　　些无理根式的不定积分等。

　　(一)考试要求

　　第九章 定积分

　　(1)掌握定积分的定义，达布上和、达布下和的定义等概念，了解定积分的几何意义和

　　物理意义。

　　(2)熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式，能够利用定积分的定义计算一些特殊极限。

　　(3)理解定积分的充分条件、必要条件和充要条件及证明思路，掌握可积函数类。

　　(4)掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理，积分不等式的证明。

　　(5)掌握变限定积分的概念，微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法。

　　(6)掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项。

　　(二)知识点

　　定积分的定义，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的充分条件和必要条件，可积函数类，定

　　积分的基本性质，积分第一中值定理，变上限的定积分，变下限的定积分，微积分学基本定

　　理，积分第二中值定理，换元积分法，分部积分法，泰勒公式的积分型余项等。

　　第十章 定积分的应用

　　(一)考试要求

　　(1)掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积

　　的计算公式，微元法。

　　(2)掌握由平行截面面积求体积的计算公式。

　　(3)掌握平面曲线的弧长和曲率的计算公式。

　　(4)掌握旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积。

　　(5)掌握定积分在物理中的应用的基本方法，能够运用微元法导出求液体静压力、引力、

　　功与平均功率的计算公式。

　　(二)知识点

　　平面图形面积的计算公式，由平行截面面积求体积的计算公式，平面曲线的弧长与曲率

　　的计算公式，旋转曲面的面积计算公式，液体静压力、引力、功与平均功率等。

　　十一章 反常积分

　　(一)考试要求

　　(1)掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法。

　　(2)掌握无穷积分与瑕积分条件收敛、绝对收敛的概念，理解收敛级数、绝对收敛级数

　　与条件收敛级数的关系、性质及证明方法。

　　(2)掌握无穷积分与瑕积分的性质与收敛判别准则，会用比较判别法、柯西判别法判别、

　　狄利克雷判别法和阿贝尔判别法等判别无穷积分与瑕积分的敛散性以及收敛类别。

　　(二)知识点

　　无穷积分，瑕积分，无穷积分的收敛、条件收敛、绝对收敛、比较判别法、柯西判别法、

　　狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等。

　　第十二章 数项级数

　　(一)考试要求

　　(1)掌握数项级数收敛性的定义和性质，深刻理解数项级数收敛的定义及与数列收敛的

　　关系。

　　(2)掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法

　　和积分判别法，了解拉贝判别法。

　　(3)掌握交错级数的莱布尼茨判别法，一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，

　　理解收敛级数、绝对收敛级数与条件收敛级数的关系、性质及证明方法。

　　(4)掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的性质。

　　(二)知识点

　　数项级数收敛性的定义和基本性质，等比级数，调和级数，比较判别法、比式判别法、

　　根式判别法、积分判别法，交错级数、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、

　　条件收敛、绝对收敛等。

　　(一)考试要求

　　第十三章 函数列与函数项级数

　　(1)掌握函数列与函数项级数一致收敛性的定义，函数列与函数项级数一致收敛性判别

　　的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法，掌握狄利克雷判别法和阿贝尔

　　判别法。

　　(2)掌握一致收敛函数列与函数项级数的连续性、可积性、可微性及其证明。

　　(二)知识点

　　函数列与函数项级数一致收敛性的定，函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准

　　则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法，一致收敛函数序列与函数项级数的连续

　　性的判别、可积性的判别、可微性的判别等。

　　第十四章 幂级数

　　(一)考试要求

　　(1)掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，幂级数的性质和运算，理解幂级数

　　作为特殊的函数项级数有和一般函数项级数相同的性质。

　　(2)掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法。

　　(3)掌握初等函数的幂级数、泰勒级数和麦克劳林级数展开，熟记一些初等函数的幂级

　　数展开式，能够用逐项求积和逐项求导的方法展开一般初等函数。

　　(二)知识点

　　幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，幂级数收敛半径，收敛区间和收敛域的概念，

　　泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义，五种基本初等函数的幂级数展开式等。

　　第十五章 傅里叶级数

　　(一)考试要求

　　(1)掌握三角级数、正交函数系、傅里叶级数定义、傅里叶级数的收敛定理, 能够展开

　　简单函数的傅里叶级数。

　　(2)掌握有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，了解引入傅里叶级数的意义(包

　　括物理意义和数学意义)。

　　(3)掌握对以2l为周期的函数作傅里叶级数展开的基本方法，偶函数和奇函数的傅里叶

　　级数的展开，正弦级数，余弦级数。

　　(4)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法。

　　(5)掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理，理解收敛定理的证明。

　　(二)知识点

　　三角级数、正交函数系、傅里叶级数定义、傅里叶级数的收敛定理, 简单函数的傅里叶

　　级数展开, 傅里叶级数的逐项求导和逐项求积,对以2l为周期的函数作傅里叶级数展开的

　　基本方法，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数, 对函数做奇延拓或

　　偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法,掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理，收

　　敛定理的证明等。

　　第十六章 多元函数的极限与连续

　　(一)考试要求

　　(1)掌握平面中的邻域、开集、闭集、开域、闭域的定义，平面上的完备性，二元及多

　　元函数的定义。

　　(2)掌握平面点集的完备性定理。

　　(3)掌握二元函数的极限的定义，掌握重极限与累次极限的区别与联系, 熟悉判别极限

　　存在性的基本方法。

　　(4)掌握二元函数的连续性的定义及多元函数的局部性质。

　　(5)掌握二元函数在有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一

　　致连续性,掌握有界闭域上连续函数性质的证明。

　　(二)知识点

　　平面中的邻域、开集、闭集、开域、闭域的定义，平面上的完备性，二元及多元函数的

　　定义, 二元函数的极限的定义，累次极限, 二元函数的连续性的定义，有界闭域上连续函数

　　的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性等。

　　第十七章 多元函数微分学

　　(一)考试要求

　　(1)掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件与充分条件。

　　(2)掌握多元函数的高阶偏导数，理解二元函数的偏导数存在、可微、连续之间的关系，

　　能熟练地求多元函数的导数及高阶偏导数。

　　(3)掌握复合函数求导的链式法则, 复合函数的全微分，一阶全微分形式不变性。

　　(4)掌握方向导数与梯度的定义和计算。

　　(5)掌握二元函数泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件, 能够

　　根据二元函数极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值。

　　(6)掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明及二元函数的极值的必要条件充分条

　　件定理的证明。

　　(二)知识点

　　多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件与充分条件, 复合函数链式

　　法则，复合函数的全微分，一阶全微分形式不变性, 方向导数与梯度的定义，方向导数与梯

　　度的计算公式, 二元函数的高阶偏导数，中值定理与泰勒公式，二元函数的极值的必要条件

　　与充分条件等。

　　(一)考试要求

　　第十八章 隐函数定理及其应用

　　(1)掌握隐函数概念，理解隐函数存在性定理，隐函数求导法和可微性定理。

　　(2)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明。

　　(3)掌握隐函数组的定义，隐函数组定理，反函数组的定义与求导法,掌握隐函数组存在

　　的条件，学会隐函数组求导法, 理解隐函数组和反函数组定理的证明。

　　(4)掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平

　　面，曲面的切平面与法线。

　　(5)掌握平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面

　　与法线方程。

　　(6)掌握拉格朗日乘数法的证明，用拉格朗日乘数法求条件极值的方法, 用条件极值的

　　方法证明或构造不等式。

　　(二)知识点

　　隐函数的定义，隐函数存在性定理，隐函数可微性定理, 隐函数组的定义，隐函数组定

　　理，反函数组的定义与求导法, 平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程，

　　求曲面的切平面与法线方程, 条件极值，拉格朗日乘数法等。

　　第十九章 含参量积分

　　(一)考试要求

　　(1)掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，掌握含参量正常积分

　　的求导法则。

　　(2)掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分

　　的魏尔斯特拉斯判别法、狄里克雷判别法和阿贝尔判别法等判别法, 含参量反常积分的连续

　　性，可微性与可积性定理。

　　(3)了解 函数与 函数的定义与有关性质以及 函数与 函数的关系公式。

　　(二)知识点

　　含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，含参量正常积分的导数的计算,

　　含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔

　　斯特拉斯判别法，狄里克雷判别法和阿贝尔判别法，含参量反常积分的连续性，可微性与可

　　积性定理,  函数与 函数的定义， 函数与函数的联系等。

　　第二十章 曲线积分

　　(一)考试要求

　　(1)掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式。

　　(2)掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式, 了解第一、第二型曲线积分之间的

　　关系。

　　(二)知识点

　　第一型曲线积分的定义，性质和计算公式, 第二型曲线积分的定义，性质和计算公式等。

　　第二十一章 重积分

　　(一)考试要求

　　(1)掌握二重积分的定义和性质, 二重积分的存在性，了解有界闭区域上的连续函数的

　　可积性, 平面点集可求面积的充要条件

　　(2)掌握直角坐标下二重积分的计算公式。

　　(3)掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式，理解二重积

　　分的变量替换定理，会用变量替换定理、极坐标变换和柱坐标变换求解二重积分, 了解重积

　　分在几何和物理上的应用。

　　(4)掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件和应用技巧, 理解格林公式以及曲线

　　积分与路线无关的条件的定理证明。

　　(5)掌握二重积分的一般的变量变换公式，极坐标变换公式, 掌握用极坐标计算二重积

　　分, 理解二重积分的一般的变量变换公式的证明。

　　(6)掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分及用柱面坐标变换和

　　球面坐标变换计算三重积分的方法。

　　(7)掌握用重积分计算曲面的面积，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式，引力

　　的计算公式。

　　(二)知识点

　　二重积分的定义和性质, 二重积分化为累次积分，累次积分的积分次序的交换, 格林公

　　式、曲线积分与路线无关的条件, 二重积分的一般的变量变换公式，极坐标变换公式, 三重

　　积分的定义和性质，三重积分的积分换元法，柱面坐标变换，球面坐标变换, 曲面面积的计

　　算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式，引力的计算公式等。

　　第二十二章 曲面积分

　　(一)考试要求

　　(1)掌握第一型曲面积分的定义和计算公式,用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分

　　计算公式。

　　(2)掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式。

　　(3)掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义

　　和计算公式。

　　(4)掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分

　　的联系。

　　(5)掌握用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分, 理解

　　高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件, 应

　　用高斯公式与斯托克斯公式的技巧。

　　(二)知识点

　　第一型曲面积分的定义和计算公式，曲面的侧，第二型曲面积分的定义和计算公式，高

　　斯公式，斯托克斯公式，沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件等。

　　二、参考书

　　[1] 数学分析(第五版)(上下册)，华东师范大学数学科学学院，北京：高等教育出版社，

　　2019.

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