南京信息工程大学硕士研究生入学考试

　　考试大纲

　　科目代码：T065

　　科目名称：数学分析

　　第一部分 目标与要求

　　掌握数学分析中的基本概念，理解考试范围内的各种微积分思想，掌握处理问题分析的基本方法、基本原理，具有运用数学分析方法解决实际问题的基本能力。

　　第二部分 具体内容

　　一、实数集与函数

　　1 理解实数集及其性质 2 掌握确界定义与确界原理 3 掌握函数概念 4掌握有某些特性的函数(有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数)

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　　二、数列极限

　　1 掌握数列极限概念 2 掌握收敛数列的性质(唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算) 3 掌握数列极限存在的条件：包括单调有界定理与柯西(Cauchy)准则

　　三、函数极限

　　1 掌握函数极限概念 2 掌握函数极限的性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算) 3掌握 函数极限存在的条件：包括归结原则(Heine 定理)，单调有界定理与柯西准则 4 掌握两个重要极限 5 掌握无穷小量，无穷大量, 理解非正常极限，掌握阶的比较，掌握曲线的渐近线

　　四、函数的连续性

　　1 掌握连续性概念，间断点及其分类 2 掌握连续函数的性质(有界性、保号性、连续函数的四则运算、理解复合函数的连续性、理解反函数的连续性;闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性)3 理解实数集完备性的基本定理的应用 4 掌握初等函数的连续性

　　五、导数与微分

　　1 掌握导数的概念 2 掌握求导法则 3 掌握微分概念 4 掌握高阶导数与高阶微分 5掌握参量方程所确定的函数的导数

　　六、微分中值定理及其应用

　　1 掌握中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理) 2掌握不定式极限 3 掌握泰勒公式(及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、了解应用于近似计算) 4 掌握函数的单调性、极值、最大值与最小值 5掌握函数的凸性与拐点 6 理解函数图象的讨论

　　七 不定积分

　　1掌握原函数与不定积分概念，基本积分公式 2 掌握换元积分法与分部积分法 3 掌握有理函数和可化为有理函数的积分

　　八、定积分

　　1掌握定积分的概念及其几何意义 2 掌握可积条件的应用(包括必要条件，可积准则)，掌握三类可积函数 3 掌握定积分的性质(线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理) 4 掌握微积分学基本定理，定积分的分部积分法与换元法

　　九、反常积分

　　1掌握无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛与条件收敛 2掌握无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法及p-函数判别法，狄利克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法 3掌握无界函数反常积分概念，无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法

　　十、定积分的应用

　　1 掌握平面图形的面积 2 掌握由截面面积求体积、旋转体的体积 3 掌握曲线的弧长与了解曲率 4 掌握旋转曲面的面积

　　十一、数项级数

　　1 掌握级数收敛的概念，柯西收敛准则，收敛级数的性质 2 掌握正项级数收敛判别法(比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法) 3 掌握一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法，阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法，理解绝对收敛级数的性质

　　十二、函数列与函数项级数

　　1 掌握函数列与函数项级数的一致收敛性，柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法，狄利克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法 2 掌握函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性

　　十三、幂级数

　　1 掌握幂函数的收敛性，阿贝尔定理，收敛半径与收敛域，内闭一致收敛性，和函数的分析性质 2 掌握函数的幂级数展开

　　十四、傅里叶级数

　　1 理解傅里叶级数的概念，三角函数系的正交性 2 掌握以2L为周期的函数的展开式，奇式与偶式展开 3 了解收敛定理的证明

　　十五、多元函数的极限与连续

　　1理解平面点集与多元函数 2 掌握二元函数的极限，重极限与累次极限 3 理解二元函数的连续性，有界闭域(集)上连续函数的性质

　　十六、多元函数的微分学

　　1掌握偏导数与全微分概念，可微性 2 掌握复合函数微分法，高阶导数，高阶微分，混合偏导数与其顺序无关性 3 掌握方向导数与梯度 4 掌握泰勒公式与极值问题

　　十七、隐函数定理及其应用

　　1理解隐函数的概念，隐函数定理 2掌握隐函数组定理，隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式及其性质 3 掌握几何应用(空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线) 4 掌握条件极值与拉格朗日乘数法

　　十八、含参量积分

　　1 掌握含参量正常积分，连续性、可积性与可微性 2 掌握含参量反常积分的收敛与一致收敛，柯西准则，维尔特拉斯(Weierstrass)判别法，狄利克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法，含参量无穷积分的连续性，可积性与可微性 3 理解欧拉积分

　　十九、曲线积分

　　1掌握第一型曲线积分的概念，性质和计算公式 2掌握第二型曲线积分的概念，性质和计算公式，两类曲线积分之间的关系

　　二十、重积分

　　1 掌握二重积分概念与性质 2 掌握二重积分的计算(化为累次积分)，二重积分的换元法(极坐标与一般变换) 3. 掌握格林(Green)公式，曲线积分与路线的无关性 3 掌握三重积分的概念与计算，三重积分的换元法(柱坐标、球坐标与一般变换) 4 理解重积分的应用(体积、曲面面积等)

　　二十一、曲面积分

　　1理解第一型曲面积分的的概念与计算 2掌握第二型曲面积分的概念与计算，理解两类曲面积分之间的关系 3掌握高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式

　　第三部分 有关说明

　　1、命题说明：填空题和单选题，约20%;解答计算题，约40%;理论证明题，约40%。

　　2、参考书目：华东师范大学数学系编, 数学分析(第四版), 高等教育出版社, 2013.

　　3、其他规定：考试方式为闭卷笔试，总分100分，考试时间为120分钟。

　　4、本科目考试不得使用计算器。

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